複素数の割り算 $\frac{3-4i}{5+2i}$ を計算し、結果を $a+bi$ の形で表す問題です。

1. 問題の内容

複素数の割り算 $\frac{3-4i}{5+2i}$ を計算し、結果を $a+bi$ の形で表す問題です。

2. 解き方の手順

複素数の割り算を行うには、分母の共役複素数を分子と分母の両方に掛けます。分母 $5+2i$ の共役複素数は $5-2i$ です。

したがって、次のように計算します。

$\frac{3-4i}{5+2i} = \frac{(3-4i)(5-2i)}{(5+2i)(5-2i)}$

分子を計算します:

$(3-4i)(5-2i) = 3(5) + 3(-2i) - 4i(5) - 4i(-2i) = 15 - 6i - 20i + 8i^2$

$i^2 = -1$ なので、$15 - 6i - 20i + 8(-1) = 15 - 8 - 26i = 7 - 26i$

分母を計算します:

$(5+2i)(5-2i) = 5(5) + 5(-2i) + 2i(5) + 2i(-2i) = 25 - 10i + 10i - 4i^2$

$i^2 = -1$ なので、$25 - 4(-1) = 25 + 4 = 29$

したがって、

$\frac{3-4i}{5+2i} = \frac{7-26i}{29} = \frac{7}{29} - \frac{26}{29}i$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{29} - \frac{26}{29}i$