複素数の割り算 $\frac{1+8i}{2+3i}$ を計算し、結果を $a+bi$ の形で表す問題です。

1. 問題の内容

複素数の割り算 $\frac{1+8i}{2+3i}$ を計算し、結果を $a+bi$ の形で表す問題です。

2. 解き方の手順

複素数の割り算を行うには、分母の共役複素数を分母と分子にかけます。

分母 $2+3i$ の共役複素数は $2-3i$ です。

まず、分子と分母に $2-3i$ をかけます。

$\frac{1+8i}{2+3i} = \frac{(1+8i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)}$

次に、分子と分母をそれぞれ計算します。

分子: $(1+8i)(2-3i) = 1(2) + 1(-3i) + 8i(2) + 8i(-3i) = 2 - 3i + 16i - 24i^2 = 2 + 13i - 24(-1) = 2 + 13i + 24 = 26 + 13i$

分母: $(2+3i)(2-3i) = 2(2) + 2(-3i) + 3i(2) + 3i(-3i) = 4 - 6i + 6i - 9i^2 = 4 - 9(-1) = 4 + 9 = 13$

したがって、

$\frac{1+8i}{2+3i} = \frac{26+13i}{13}$

最後に、実部と虚部をそれぞれ13で割ります。

$\frac{26+13i}{13} = \frac{26}{13} + \frac{13i}{13} = 2 + i$

3. 最終的な答え

$2+i$