与えられた等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求める問題です。具体的には、以下の4つの問題があります。 (1) $3x + 1 = a(x - 1)(x + 1) + bx(x + 1) + cx(x - 1)$ (2) $2x^2 - 3x + 5 = a(x - 1)^2 + b(x - 1) + c$ (3) $\frac{1}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \frac{a}{x - 1} + \frac{bx + c}{x^2 + x + 1}$ (4) $\frac{7x + 4}{(x - 2)(x + 1)^2} = \frac{a}{x - 2} + \frac{b}{x + 1} + \frac{c}{(x + 1)^2}$

1. 問題の内容

与えられた等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求める問題です。具体的には、以下の4つの問題があります。

(1) $3x + 1 = a(x - 1)(x + 1) + bx(x + 1) + cx(x - 1)$

(2) $2x^2 - 3x + 5 = a(x - 1)^2 + b(x - 1) + c$

(3) $\frac{1}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \frac{a}{x - 1} + \frac{bx + c}{x^2 + x + 1}$

(4) $\frac{7x + 4}{(x - 2)(x + 1)^2} = \frac{a}{x - 2} + \frac{b}{x + 1} + \frac{c}{(x + 1)^2}$

2. 解き方の手順

(1) $3x + 1 = a(x - 1)(x + 1) + bx(x + 1) + cx(x - 1)$

右辺を展開して整理します。

$3x + 1 = a(x^2 - 1) + b(x^2 + x) + c(x^2 - x)$

$3x + 1 = ax^2 - a + bx^2 + bx + cx^2 - cx$

$3x + 1 = (a + b + c)x^2 + (b - c)x - a$

両辺の係数を比較します。

$x^2$ の係数: $a + b + c = 0$

$x$ の係数: $b - c = 3$

定数項: $-a = 1$

これより、$a = -1$。

$-1 + b + c = 0$ より $b + c = 1$

$b - c = 3$

2つの式を足し合わせると、$2b = 4$ より $b = 2$。

$c = 1 - b = 1 - 2 = -1$。

(2) $2x^2 - 3x + 5 = a(x - 1)^2 + b(x - 1) + c$

右辺を展開して整理します。

$2x^2 - 3x + 5 = a(x^2 - 2x + 1) + b(x - 1) + c$

$2x^2 - 3x + 5 = ax^2 - 2ax + a + bx - b + c$

$2x^2 - 3x + 5 = ax^2 + (-2a + b)x + (a - b + c)$

両辺の係数を比較します。

$x^2$ の係数: $a = 2$

$x$ の係数: $-2a + b = -3$

定数項: $a - b + c = 5$

$a = 2$

$-2(2) + b = -3$ より $-4 + b = -3$ よって $b = 1$。

$2 - 1 + c = 5$ より $1 + c = 5$ よって $c = 4$。

(3) $\frac{1}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \frac{a}{x - 1} + \frac{bx + c}{x^2 + x + 1}$

両辺に $(x - 1)(x^2 + x + 1)$ をかけます。

$1 = a(x^2 + x + 1) + (bx + c)(x - 1)$

$1 = ax^2 + ax + a + bx^2 - bx + cx - c$

$1 = (a + b)x^2 + (a - b + c)x + (a - c)$

両辺の係数を比較します。

$x^2$ の係数: $a + b = 0$

$x$ の係数: $a - b + c = 0$

定数項: $a - c = 1$

$b = -a$

$a - (-a) + c = 0$ より $2a + c = 0$

$a - c = 1$

2つの式を足し合わせると、$3a = 1$ より $a = \frac{1}{3}$。

$b = -a = -\frac{1}{3}$

$c = a - 1 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$。

(4) $\frac{7x + 4}{(x - 2)(x + 1)^2} = \frac{a}{x - 2} + \frac{b}{x + 1} + \frac{c}{(x + 1)^2}$

両辺に $(x - 2)(x + 1)^2$ をかけます。

$7x + 4 = a(x + 1)^2 + b(x - 2)(x + 1) + c(x - 2)$

$7x + 4 = a(x^2 + 2x + 1) + b(x^2 - x - 2) + c(x - 2)$

$7x + 4 = ax^2 + 2ax + a + bx^2 - bx - 2b + cx - 2c$

$7x + 4 = (a + b)x^2 + (2a - b + c)x + (a - 2b - 2c)$

両辺の係数を比較します。

$x^2$ の係数: $a + b = 0$

$x$ の係数: $2a - b + c = 7$

定数項: $a - 2b - 2c = 4$

$b = -a$

$2a - (-a) + c = 7$ より $3a + c = 7$

$a - 2(-a) - 2c = 4$ より $3a - 2c = 4$

$3a + c = 7$ より $c = 7 - 3a$

$3a - 2(7 - 3a) = 4$

$3a - 14 + 6a = 4$

$9a = 18$

$a = 2$

$b = -a = -2$

$c = 7 - 3a = 7 - 3(2) = 7 - 6 = 1$

3. 最終的な答え

(1) $a = -1$, $b = 2$, $c = -1$

(2) $a = 2$, $b = 1$, $c = 4$

(3) $a = \frac{1}{3}$, $b = -\frac{1}{3}$, $c = -\frac{2}{3}$

(4) $a = 2$, $b = -2$, $c = 1$