与えられた分数式の計算を行い、結果を $x/(x+\text{?})$ の形で表す問題です。つまり、$ \frac{x^2+x}{x^2+x-6} \cdot \frac{x+1}{x-2} = \frac{x}{x+\text{?}} $を満たす $?$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた分数式の計算を行い、結果を $x/(x+\text{?})$ の形で表す問題です。つまり、$\frac{x^2+x}{x^2+x-6} \cdot \frac{x+1}{x-2} = \frac{x}{x+\text{?}}$を満たす $?$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、左辺の式を因数分解して簡略化します。

$x^2+x = x(x+1)$

$x^2+x-6 = (x+3)(x-2)$

したがって、左辺は次のようになります。

$\frac{x(x+1)}{(x+3)(x-2)} \cdot \frac{x+1}{x-2} = \frac{x(x+1)^2}{(x+3)(x-2)^2}$

問題文の右辺と比較するため、左辺をさらに変形します。

$\frac{x(x+1)^2}{(x+3)(x-2)^2} = \frac{x}{x+3} \cdot \frac{(x+1)^2}{(x-2)^2}$

ここで、左辺全体を $x/(x+\text{?})$ の形にすることを考えます。与えられた式は、

$\frac{x(x+1)^2}{(x+3)(x-2)^2} = \frac{x}{x+\text{?}}$

両辺に $(x+3)(x-2)^2$ をかけて $x$ で割ると、

$\frac{(x+1)^2}{1} = \frac{(x+3)(x-2)^2}{x+\text{?}}$

となります。

$(x+1)^2(x+\text{?}) = (x+3)(x-2)^2$

$\rightarrow (x^2+2x+1)(x+\text{?}) = (x+3)(x^2-4x+4)$

$\rightarrow x^3+2x^2+x + x^2 \cdot \text{?} + 2x \cdot \text{?} + \text{?} = x^3-4x^2+4x+3x^2-12x+12$

$\rightarrow x^3+(2+\text{?})x^2+(1+2\text{?})x + \text{?} = x^3 -x^2 -8x + 12$

両辺の係数を比較すると、

$2+\text{?} = -1$ より、$\text{?} = -3$。

$1+2\text{?} = -8$ より、$2\text{?} = -9$, $\text{?} = -4.5$。

$\text{?} = 12$。

このやり方では上手く解けません。

元に戻って、$\frac{x(x+1)^2}{(x+3)(x-2)^2} = \frac{x}{x+a}$と置くと、

$\frac{(x+1)^2}{(x+3)(x-2)^2} = \frac{1}{x+a}$

となる必要があります。

この等式は一般には成り立ちません。

$\frac{x^2+x}{x^2+x-6} \cdot \frac{x+1}{x-2} = \frac{x(x+1)(x+1)}{(x+3)(x-2)(x-2)} = \frac{x(x+1)^2}{(x+3)(x-2)^2} = \frac{x}{x+3}$ となるためには，

$\frac{(x+1)^2}{(x-2)^2}=1$，すなわち，$x+1 = x-2$，または，$x+1 = -x+2$ である必要があります。

いずれにしても，すべての $x$ については成り立ちません。

もう一度問題文を確認します。問題は、

$\frac{x^2+x}{x^2+x-6} \cdot \frac{x+1}{x-2} = \frac{x}{x+\text{?}}$を満たす $?$ を求める問題です。

$\frac{x(x+1)^2}{(x+3)(x-2)^2} = \frac{x}{x+\text{?}}$

$x+\text{?} = \frac{x(x+3)(x-2)^2}{x(x+1)^2} = \frac{(x+3)(x-2)^2}{(x+1)^2}$

$\text{?} = \frac{(x+3)(x-2)^2}{(x+1)^2} -x = \frac{(x+3)(x^2-4x+4)-x(x^2+2x+1)}{(x+1)^2}$

$\text{?} = \frac{x^3-4x^2+4x+3x^2-12x+12-x^3-2x^2-x}{(x+1)^2} = \frac{-3x^2-9x+12}{(x+1)^2} = \frac{-3(x^2+3x-4)}{(x+1)^2} = \frac{-3(x+4)(x-1)}{(x+1)^2}$

問題がおかしい気がします．

問題文が正しいと仮定した場合，最終的な答えが$\frac{x}{x+3}$になるべきです．

$\frac{x^2+x}{x^2+x-6} \cdot \frac{x+1}{x-2} = \frac{x}{x+3}$

$\frac{x(x+1)}{(x+3)(x-2)} \cdot \frac{x+1}{x-2} = \frac{x}{x+3}$

$\frac{x(x+1)^2}{(x+3)(x-2)^2} = \frac{x}{x+3}$

$(x+1)^2=(x-2)^2$

$x^2+2x+1=x^2-4x+4$

$6x = 3$

$x=1/2$

これはxが1/2の場合にのみ成り立ちます．

したがって，問題が間違っているか，あるいは、問題の意図が分からなかったため、正しく解けませんでした。しかし、もし$\frac{x}{x+3}$になるのであれば、答えは3になります。

3. 最終的な答え

3