「JUNPEI」の6文字をすべて用いて順列を作る。 (1) 子音(J, N, P)が両端にある場合の順列の数を求める。 (2) P, E, Iが隣り合っている場合の順列の数を求める。 (3) J, U, N がどの2つも隣り合っていない場合の順列の数を求める。 (4) 母音 (U, E, I) がこの順に並んでいる場合の順列の数を求める。

1. 問題の内容

「JUNPEI」の6文字をすべて用いて順列を作る。

(1) 子音(J, N, P)が両端にある場合の順列の数を求める。

(2) P, E, Iが隣り合っている場合の順列の数を求める。

(3) J, U, N がどの2つも隣り合っていない場合の順列の数を求める。

(4) 母音 (U, E, I) がこの順に並んでいる場合の順列の数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 子音(J, N, P)が両端にある場合

両端にJ, N, Pのいずれかが来るので、その選び方は $3 \times 2 = 6$ 通り。

残りの4文字(U, E, IとJ, N, Pのうち残った1文字)の並べ方は $4! = 24$ 通り。

よって、 $6 \times 24 = 144$ 通り。

(2) P, E, I が隣り合っている場合

P, E, I をひとまとめにして1つの文字と考えると、全体で4つの文字（P, E, I の塊とJ, U, N）の順列を考えることになる。これは $4! = 24$ 通り。

P, E, I の塊の中で、P, E, I の並び方は $3! = 6$ 通り。

よって、$24 \times 6 = 144$ 通り。

(3) J, U, N がどの2つも隣り合っていない場合

まず、E, P, I の3文字を並べる。並べ方は $3! = 6$ 通り。

E, P, I を並べた際にできる4つの隙間（Eの前、EとPの間、PとIの間、Iの後ろ）にJ, U, N を1つずつ入れる。

4つの隙間から3つを選んでJ, U, N を並べるので、 $4P3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$ 通り。

したがって、$6 \times 24 = 144$ 通り。

(4) 母音(U, E, I)がこの順に並んでいる場合

6つの文字を並べる方法は全部で $6! = 720$ 通り。

U, E, I の並び方は $3! = 6$ 通りだが、このうち U, E, I の順になっているものは1通りだけ。

したがって、U, E, I がこの順に並んでいる順列の数は $\frac{6!}{3!} = \frac{720}{6} = 120$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 144通り

(2) 144通り

(3) 144通り

(4) 120通り