袋の中に1から5の番号が書かれた赤球が5個、1から4の番号が書かれた白球が4個入っている。この袋から球を1個取り出すとき、取り出した球が赤球であるという事象をA、球に書かれている数字が偶数であるという事象をBとする。条件付き確率 $P_A(B)$と$P_B(A)$を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に1から5の番号が書かれた赤球が5個、1から4の番号が書かれた白球が4個入っている。この袋から球を1個取り出すとき、取り出した球が赤球であるという事象をA、球に書かれている数字が偶数であるという事象をBとする。条件付き確率 $P_A(B)$と$P_B(A)$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、袋に入っている球の総数は $5 + 4 = 9$ 個である。

(1) $P_A(B)$ を求める。これは、取り出した球が赤球であったときに、その数字が偶数である確率である。

赤球は5個あり、そのうち偶数の番号が付いているのは2個（2と4）である。よって、

$P_A(B) = \frac{2}{5}$

(2) $P_B(A)$ を求める。これは、取り出した球の数字が偶数であったときに、それが赤球である確率である。

偶数の番号の球は、赤球が2個（2と4）、白球が2個（2と4）で、合計4個ある。そのうち赤球は2個である。よって、

$P_B(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $P_A(B) = \frac{2}{5}$

(2) $P_B(A) = \frac{1}{2}$