1個のサイコロを2回繰り返し投げるとき、1回目に出る目を$x_1$、2回目に出る目を$x_2$とする。 (1) $x_1 = x_2$ となる確率、および $x_1 < x_2$ となる確率を求める。 (2) $x_1$, $x_2$ に対して、実数 $A$, $B$ を $A = \sqrt{x_1}$, $B = \sqrt{x_1x_2}$ で定める。 $A$ が整数である確率、$B$ が整数である確率を求める。 また、$B$ が整数であったとき、$A$ が整数である条件付き確率を求める。

1. 問題の内容

1個のサイコロを2回繰り返し投げるとき、1回目に出る目を$x_1$、2回目に出る目を$x_2$とする。

(1) $x_1 = x_2$ となる確率、および $x_1 < x_2$ となる確率を求める。

(2) $x_1$, $x_2$ に対して、実数 $A$, $B$ を $A = \sqrt{x_1}$, $B = \sqrt{x_1x_2}$ で定める。

$A$ が整数である確率、$B$ が整数である確率を求める。

また、$B$ が整数であったとき、$A$ が整数である条件付き確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

- $x_1 = x_2$ となるのは、(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) の6通り。

全事象は $6 \times 6 = 36$ 通りなので、確率は $6/36 = 1/6$。

- $x_1 < x_2$ となるのは、

(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) : 5通り

(2,3), (2,4), (2,5), (2,6) : 4通り

(3,4), (3,5), (3,6) : 3通り

(4,5), (4,6) : 2通り

(5,6) : 1通り

合計 $5+4+3+2+1 = 15$通り。

確率は $15/36 = 5/12$。

(2)

- $A = \sqrt{x_1}$ が整数となるのは、$x_1 = 1, 4$ のとき。

$x_1 = 1$ となる確率は $1/6$、$x_1 = 4$ となる確率は $1/6$ なので、合計 $2/6 = 1/3$。

- $B = \sqrt{x_1x_2}$ が整数となるのは、$x_1x_2$ が平方数となるとき。

$x_1x_2 = 1, 4, 9, 16, 25, 36$ となればよい。

$x_1x_2=1$のとき、$(x_1,x_2)=(1,1)$

$x_1x_2=4$のとき、$(x_1,x_2)=(1,4),(4,1),(2,2)$

$x_1x_2=9$のとき、$(x_1,x_2)=(3,3)$

$x_1x_2=16$のとき、$(x_1,x_2)=(4,4)$

$x_1x_2=25$のとき、$(x_1,x_2)=(5,5)$

$x_1x_2=36$のとき、$(x_1,x_2)=(6,6)$

これ以外にも、例えば$x_1x_2=2\cdot 2=4$なども含む。

全事象を考えると

(1,1), (1,4), (1,9), (1,16), (1,25), (1,36) $\rightarrow$ (1,1),(1,4)

(2,2), (2,8), (2,18), (2,32) $\rightarrow$ (2,2),(2,8)

(3,3), (3,12), (3,27) $\rightarrow$ (3,3),(3,12)

(4,1), (4,4), (4,9) $\rightarrow$ (4,1),(4,4),(4,9)

(5,5), (5,20) $\rightarrow$ (5,5),(5,20)

(6,6), (6,24) $\rightarrow$ (6,6)

$x_1x_2= k^2$となるときを考える。$1 \le x_1,x_2 \le 6$なので、$1 \le k \le 6$

$k=1: (1,1)$

$k=2: (1,4), (2,2), (4,1)$

$k=3: (1,9), (3,3), (9,1) \rightarrow (3,3)$

$k=4: (1,16), (2,8), (4,4), (8,2), (16,1) \rightarrow (4,4)$

$k=5: (1,25), (5,5), (25,1) \rightarrow (5,5)$

$k=6: (1,36), (2,18), (3,12), (4,9), (6,6), (9,4), (12,3), (18,2), (36,1) \rightarrow (6,6)$

他に

$x_1x_2 = 2 \times 8, 3 \times 12, 5 \times 20, 6 \times 24$

より(1,1),(1,4),(2,2),(3,3),(4,1),(4,4),(5,5),(6,6)の8通り。よって8/36=2/9。

- $B$ が整数であったとき、$A$ が整数である条件付き確率は、

$B$が整数である事象を$E_B$、$A$が整数である事象を$E_A$とすると、求めるものは$P(E_A|E_B) = \frac{P(E_A \cap E_B)}{P(E_B)}$

$A=\sqrt{x_1}$が整数であるとき、$x_1 = 1,4$。

$x_1=1$のとき、(1,1)(1,4)とすれば、$B$も整数。

$x_1=4$のとき、(4,1)(4,4)とすれば、$B$も整数。

$x_1 = 1, x_2 = 1,4$の時、$B$は1,2

$x_1 = 4, x_2 = 1,4$の時、$B$は2,4

$P(E_A \cap E_B) = P((x_1,x_2) \in \{(1,1),(1,4),(4,1),(4,4)\}) = 4/36 = 1/9$

$P(E_B) = 8/36 = 2/9$

よって、求める条件付き確率は $(1/9) / (2/9) = 1/2$。

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 6

ウ: 5

エオ: 12

カ: 1

キ: 3

ク: 2

ケ: 9

コ: 1

サ: 2