Aが3枚の硬貨を、Bが2枚の硬貨を同時に投げるとき、以下の確率を求めます。 (1) AとBが出す表の枚数が等しい確率 (2) Bが出す表の枚数がAより多い確率 (3) Aが出す表の枚数がBより多い確率

1. 問題の内容

Aが3枚の硬貨を、Bが2枚の硬貨を同時に投げるとき、以下の確率を求めます。

(1) AとBが出す表の枚数が等しい確率

(2) Bが出す表の枚数がAより多い確率

(3) Aが出す表の枚数がBより多い確率

2. 解き方の手順

Aが表を出す枚数を$a$、Bが表を出す枚数を$b$とします。

Aが3枚の硬貨を投げたときに表が出る枚数の確率分布は、二項分布に従います。$P(a=k) = {}_3 C_k (\frac{1}{2})^k (\frac{1}{2})^{3-k} = {}_3 C_k (\frac{1}{2})^3$

同様に、Bが2枚の硬貨を投げたときに表が出る枚数の確率分布は、二項分布に従います。$P(b=k) = {}_2 C_k (\frac{1}{2})^k (\frac{1}{2})^{2-k} = {}_2 C_k (\frac{1}{2})^2$

(1) AとBが出す表の枚数が等しい確率を求めます。

$P(a=b) = \sum_{k=0}^{min(3,2)} P(a=k)P(b=k) = P(a=0)P(b=0) + P(a=1)P(b=1) + P(a=2)P(b=2)$

$P(a=0) = {}_3 C_0 (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

$P(a=1) = {}_3 C_1 (\frac{1}{2})^3 = \frac{3}{8}$

$P(a=2) = {}_3 C_2 (\frac{1}{2})^3 = \frac{3}{8}$

$P(b=0) = {}_2 C_0 (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

$P(b=1) = {}_2 C_1 (\frac{1}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$P(b=2) = {}_2 C_2 (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

$P(a=b) = (\frac{1}{8})(\frac{1}{4}) + (\frac{3}{8})(\frac{1}{2}) + (\frac{3}{8})(\frac{1}{4}) = \frac{1}{32} + \frac{3}{16} + \frac{3}{32} = \frac{1+6+3}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$

(2) Bが出す表の枚数がAより多い確率を求めます。

$P(b>a) = \sum_{i=0}^3 \sum_{j=i+1}^2 P(a=i)P(b=j) = P(a=0)P(b=1) + P(a=0)P(b=2) + P(a=1)P(b=2)$

$P(b>a) = (\frac{1}{8})(\frac{1}{2}) + (\frac{1}{8})(\frac{1}{4}) + (\frac{3}{8})(\frac{1}{4}) = \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{3}{32} = \frac{2+1+3}{32} = \frac{6}{32} = \frac{3}{16}$

(3) Aが出す表の枚数がBより多い確率を求めます。

$P(a>b) = \sum_{i=0}^2 \sum_{j=i+1}^3 P(a=j)P(b=i) = P(a=1)P(b=0) + P(a=2)P(b=0) + P(a=2)P(b=1) + P(a=3)P(b=0) + P(a=3)P(b=1)+ P(a=3)P(b=2)$

$P(a>b) = P(a>b) = \sum_{k=0}^{min(3,2)} P(b=k) \sum_{i=k+1}^3 P(a=i)$

$P(a>b) = (\frac{1}{4})(\frac{3}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8}) + (\frac{1}{2})(\frac{3}{8} + \frac{1}{8}) + (\frac{1}{4})(\frac{1}{8}) = (\frac{1}{4})(\frac{7}{8}) + (\frac{1}{2})(\frac{4}{8}) + (\frac{1}{4})(\frac{1}{8}) = \frac{7}{32} + \frac{4}{16} + \frac{1}{32} = \frac{7}{32} + \frac{8}{32} + \frac{1}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$

または、

$P(a>b) = 1 - P(a=b) - P(b>a) = 1 - \frac{5}{16} - \frac{3}{16} = 1 - \frac{8}{16} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) AとBが出す表の枚数が等しい確率：$\frac{5}{16}$

(2) Bが出す表の枚数がAより多い確率：$\frac{3}{16}$

(3) Aが出す表の枚数がBより多い確率：$\frac{1}{2}$