数列 $\{b_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和が $S_n$ であり、$S_n = 2^{n+1} - c$ と与えられている。ただし、$c$ は $n$ によらない定数である。$n \geq 2$ のとき、$b_n$ を $S_n$ と $S_{n-1}$ を用いて表し、さらに $b_n$ を $n$ と $c$ を用いて表す。最後に、$n=1$ のときも、$b_n$ の式が成り立つような $c$ の値を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{b_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和が $S_n$ であり、$S_n = 2^{n+1} - c$ と与えられている。ただし、$c$ は $n$ によらない定数である。$n \geq 2$ のとき、$b_n$ を $S_n$ と $S_{n-1}$ を用いて表し、さらに $b_n$ を $n$ と $c$ を用いて表す。最後に、$n=1$ のときも、$b_n$ の式が成り立つような $c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$n \geq 2$ のとき、$b_n$ は $S_n$ と $S_{n-1}$ を用いて表すことができる。

$b_n = S_n - S_{n-1}$ である。よって、コ の解答群は $S_n - S_{n-1}$ (選択肢2) である。

次に、$S_n = 2^{n+1} - c$ を代入して、$b_n$ を $n$ と $c$ を用いて表す。

$b_n = S_n - S_{n-1} = (2^{n+1} - c) - (2^n - c) = 2^{n+1} - 2^n = 2^n (2-1) = 2^n$

よって、$b_n = 2^n$ であり、サ の解答群は $2^n$ (選択肢4) である。

最後に、$n=1$ のときも $b_n=2^n$ が成り立つような $c$ の値を求める。

$b_1 = S_1 = 2^{1+1} - c = 2^2 - c = 4 - c$

また、$b_1 = 2^1 = 2$ となるはずである。

よって、$4 - c = 2$ より、$c = 2$ である。

したがって、$n=1$ のときも③が成り立つような $c$ の値は 2 である。

3. 最終的な答え

コ: 2

サ: 4

シ: 2