数列の和 Sₙ が与えられたときに、a₂₀, a₁ + a₂ + … + a₁₀, aₙ を求める問題。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

**123 Sₙ と aₙ の関係**

(1) 数列{aₙ}の初項から第n項までの和 Sₙ が Sₙ = n² + 2n で表されるとき、

1. 問題の内容

数列の和 Sₙ が与えられたときに、a₂₀, a₁ + a₂ + … + a₁₀, aₙ を求める問題。

2. 解き方の手順

* a₂₀ を求めるには、S₂₀ - S₁₉ を計算する。

$S_{20} = 20^2 + 2(20) = 400 + 40 = 440$

$S_{19} = 19^2 + 2(19) = 361 + 38 = 399$

$a_{20} = S_{20} - S_{19} = 440 - 399 = 41$

* a₁ + a₂ + … + a₁₀ は S₁₀ に等しい。

$S_{10} = 10^2 + 2(10) = 100 + 20 = 120$

* aₙ を求めるには、n ≥ 2 のとき Sₙ - Sₙ₋₁ を計算する。

$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 2n) - ((n-1)^2 + 2(n-1))$

$= n^2 + 2n - (n^2 - 2n + 1 + 2n - 2) = n^2 + 2n - (n^2 - 1) = 2n + 1$

n = 1 のとき、$a_1 = S_1 = 1^2 + 2(1) = 3$。これは aₙ = 2n + 1 で n = 1 としたときの結果と一致するので、aₙ = 2n + 1。

3. 最終的な答え

a₂₀ = 41

a₁ + a₂ + … + a₁₀ = 120

aₙ = 2n + 1

(2) 数列{aₙ}の初項から第n項までの和 Sₙ が Sₙ = 3ⁿ + 1 で表されるとき、

1. 問題の内容

数列の和 Sₙ が与えられたときに、a₁, n ≥ 2 のときの aₙ を求める問題。

2. 解き方の手順

* a₁ は S₁ に等しい。

$a_1 = S_1 = 3^1 + 1 = 3 + 1 = 4$

* n ≥ 2 のとき、aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ を計算する。

$a_n = S_n - S_{n-1} = (3^n + 1) - (3^{n-1} + 1) = 3^n - 3^{n-1}$

$= 3^{n-1}(3 - 1) = 2 \cdot 3^{n-1}$

3. 最終的な答え

a₁ = 4

n ≥ 2 のとき、aₙ = 2・3ⁿ⁻¹

**124 Σ計算**

(1) 2・3 + 3・5 + 4・7 + … + (n+1)(2n+1) =

1. 問題の内容

数列の和を求める問題。

2. 解き方の手順

* 数列の一般項は (k+1)(2k+1) = 2k² + 3k + 1

* 和の公式を用いて計算する。

$\sum_{k=1}^{n} (2k^2 + 3k + 1) = 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 + 3 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$= 2 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3 \frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{n}{6} (2(n+1)(2n+1) + 9(n+1) + 6)$

$= \frac{n}{6} (4n^2 + 6n + 2 + 9n + 9 + 6) = \frac{n}{6} (4n^2 + 15n + 17)$

$= \frac{n(4n^2 + 15n + 17)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(4n^2 + 15n + 17)}{6}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} 2(-3)^{k-1} =$

1. 問題の内容

数列の和を求める問題（等比数列）。

2. 解き方の手順

* 初項 a = 2, 公比 r = -3 の等比数列の和を求める。

* 等比数列の和の公式を用いる。

$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{2(1 - (-3)^n)}{1 - (-3)} = \frac{2(1 - (-3)^n)}{4} = \frac{1 - (-3)^n}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1 - (-3)^n}{2}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} =$

1. 問題の内容

数列の和を求める問題（部分分数分解）。

2. 解き方の手順

* 部分分数分解する。

$\frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{A}{2k+1} + \frac{B}{2k+3}$

$1 = A(2k+3) + B(2k+1)$

$k = -\frac{1}{2}$ のとき $1 = A(2)$ より $A = \frac{1}{2}$

$k = -\frac{3}{2}$ のとき $1 = B(-2)$ より $B = -\frac{1}{2}$

$\frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3})$

* 和を計算する。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3})$

$= \frac{1}{2} [(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + ... + (\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3})]$

$= \frac{1}{2} (\frac{1}{3} - \frac{1}{2n+3}) = \frac{1}{2} (\frac{2n+3 - 3}{3(2n+3)}) = \frac{1}{2} (\frac{2n}{3(2n+3)}) = \frac{n}{3(2n+3)}$

$= \frac{n}{6n+9}$

3. 最終的な答え

$\frac{n}{6n+9}$