2つの放物線 $y = 3x^2 + 6x$ と $y = x^2 + px + q$ の頂点が一致するとき、$p + q$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの放物線 $y = 3x^2 + 6x$ と $y = x^2 + px + q$ の頂点が一致するとき、$p + q$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの放物線を平方完成します。

放物線 $y = 3x^2 + 6x$ について：

$y = 3(x^2 + 2x)$

$y = 3(x^2 + 2x + 1 - 1)$

$y = 3((x + 1)^2 - 1)$

$y = 3(x + 1)^2 - 3$

したがって、この放物線の頂点は $(-1, -3)$ です。

次に、放物線 $y = x^2 + px + q$ について：

$y = (x^2 + px) + q$

$y = (x^2 + px + (\frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2) + q$

$y = (x + \frac{p}{2})^2 - \frac{p^2}{4} + q$

したがって、この放物線の頂点は $(-\frac{p}{2}, -\frac{p^2}{4} + q)$ です。

2つの放物線の頂点が一致するので、

$-\frac{p}{2} = -1$ かつ $-\frac{p^2}{4} + q = -3$

となります。

$-\frac{p}{2} = -1$ より、

$p = 2$

となります。

これを $-\frac{p^2}{4} + q = -3$ に代入すると、

$-\frac{2^2}{4} + q = -3$

$-1 + q = -3$

$q = -2$

となります。

したがって、$p + q = 2 + (-2) = 0$ となります。

3. 最終的な答え

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