2次関数 $y = x^2 + 2mx + m - 2$ のグラフが、$x$ 軸の $x > -1$ の部分と $x < -1$ の部分で交わるような定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 2mx + m - 2$ のグラフが、$x$ 軸の $x > -1$ の部分と $x < -1$ の部分で交わるような定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次関数のグラフが $x$ 軸の $x > -1$ と $x < -1$ の部分で交わるということは、$x = -1$ のとき、$y < 0$ となることを意味します。なぜなら、$x = -1$ を境に $y$ の符号が変化する（$x$ 軸と交わる）必要があるからです。

したがって、$x = -1$ を与えられた2次関数に代入したときの $y$ の値が負になる条件を考えます。

$x = -1$ を $y = x^2 + 2mx + m - 2$ に代入すると、

$y = (-1)^2 + 2m(-1) + m - 2 = 1 - 2m + m - 2 = -m - 1$

この値が負になる条件は、

$-m - 1 < 0$

この不等式を解きます。

$-m < 1$

$m > -1$

3. 最終的な答え

$m > -1$