この問題は、3つの独立した小問から構成されています。 (1) 異なる実数 $a, b, c$ がこの順で等差数列をなし、$a+b+c = 18$ を満たし、さらに $b, c, a$ の順で等比数列をなすとき、$a, b, c$ の値を求める。 (2) 数列 $\{a_n\}$ について、$\sum_{k=1}^{n} a_k = n(2n+3)$ であるとき、$a_n$ を求める。 (3) 和 $S = \sum_{k=1}^{n} (k+1)2^{k-1} = 8 \cdot 2^0 + 9 \cdot 2^1 + 10 \cdot 2^2 + \dots + (n+1)2^{n-1}$ の値を求める。

1. 問題の内容

この問題は、3つの独立した小問から構成されています。

(1) 異なる実数 $a, b, c$ がこの順で等差数列をなし、$a+b+c = 18$ を満たし、さらに $b, c, a$ の順で等比数列をなすとき、$a, b, c$ の値を求める。

(2) 数列 $\{a_n\}$ について、$\sum_{k=1}^{n} a_k = n(2n+3)$ であるとき、$a_n$ を求める。

(3) 和 $S = \sum_{k=1}^{n} (k+1)2^{k-1} = 8 \cdot 2^0 + 9 \cdot 2^1 + 10 \cdot 2^2 + \dots + (n+1)2^{n-1}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

等差数列であることから、$2b = a + c$ が成り立つ。また、$a+b+c = 18$ より、$b + 2b = 18$ なので、$3b = 18$、$b = 6$。

次に、等比数列であることから、$c^2 = ab$ が成り立つ。$b = 6$ を代入して、$c^2 = 6a$。

また、$a + c = 2b = 12$ より、$a = 12 - c$。これを $c^2 = 6a$ に代入して、$c^2 = 6(12 - c)$。

$c^2 + 6c - 72 = 0$ より、$(c + 12)(c - 6) = 0$。$c = -12$ または $c = 6$。

$c = 6$ のとき、$a = 12 - 6 = 6$ となり、$a, b, c$ が異なる実数という条件に反する。

したがって、$c = -12$。このとき、$a = 12 - (-12) = 24$。

よって、$a = 24, b = 6, c = -12$。

(2)

$\sum_{k=1}^{n} a_k = n(2n+3)$ であるから、$\sum_{k=1}^{n-1} a_k = (n-1)(2(n-1)+3) = (n-1)(2n+1)$。

$a_n = \sum_{k=1}^{n} a_k - \sum_{k=1}^{n-1} a_k = n(2n+3) - (n-1)(2n+1) = 2n^2 + 3n - (2n^2 - 2n + n - 1) = 2n^2 + 3n - 2n^2 + n + 1 = 4n + 1$。

(3)

$S = \sum_{k=1}^{n} (k+1)2^{k-1} = 8 + 9\cdot 2 + 10\cdot 2^2 + \dots + (n+1)2^{n-1}$

$2S = 8\cdot 2 + 9\cdot 2^2 + 10\cdot 2^3 + \dots + (n+1)2^n$

$S - 2S = 8 + (9-8)2 + (10-9)2^2 + \dots + (n+1 - n)2^{n-1} - (n+1)2^n = 8 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k - (n+1)2^n = 8 + \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2 - 1} - (n+1)2^n = 8 + 2^n - 2 - (n+1)2^n = 6 + 2^n - (n+1)2^n = 6 - n2^n$

$-S = 6 - n2^n$

$S = n2^n - 6$

3. 最終的な答え

(1) $a = 24, b = 6, c = -12$

(2) $a_n = 4n + 1$

(3) $S = (n-1)2^n + 2 -8 + 2 = 2 \cdot 2 -8$ したがって、$15 = n-1$ と $16 = n$　(n+1ではありません）

$S = (n-1)2^{n+1} + 6 - (n+1)2^n = -6$. (最終的に計算が合わないので、解法に誤りがありそうです。画像から読み取れる情報を元に解いたので、問題文に誤りがあるかもしれません。)

しかし、指示に従い、形式を遵守します。

$S = (n-1) 2^{n+1} - (n+1) 2^n$

$S = (n-1)2^{n+1} - 6$。したがって、$15 = n$と$16 = n+1$

回答に誤りがある可能性があります。

(1) a=24, b=6, c=-12

(2) an=4n+1

(3) S=(n-1)2^(n+1)-6; 15はn, 16はn+1

(修正版)

問題3について、計算をやり直します。

$S = \sum_{k=1}^n (k+1)2^{k-1}$

$2S = \sum_{k=1}^n (k+1)2^k = \sum_{k=2}^{n+1} k2^{k-1}$

$S - 2S = \sum_{k=1}^n (k+1)2^{k-1} - \sum_{k=2}^{n+1} k2^{k-1} = (1+1)2^0 + \sum_{k=2}^n [(k+1) - k]2^{k-1} - (n+1)2^n = 2 + \sum_{k=2}^n 2^{k-1} - (n+1)2^n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k - (n+1)2^n = 2 + \frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1} - (n+1)2^n = 2 + 2^n - 2 - (n+1)2^n = -n2^n$

$-S = -n2^n$

$S = n2^n$

最終的な答え

(1) a=24, b=6, c=-12

(2) an=4n+1

(3) S=n2^n; 15はn, 16はn