$x = \frac{1}{\sqrt{11} + \sqrt{10}}$ と $y = \frac{1}{\sqrt{11} - \sqrt{10}}$ が与えられたとき、$x+y$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{11} + \sqrt{10}}$ と $y = \frac{1}{\sqrt{11} - \sqrt{10}}$ が与えられたとき、$x+y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ をそれぞれ有理化します。

$x$ の有理化：

$x = \frac{1}{\sqrt{11} + \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{11} - \sqrt{10}}{(\sqrt{11} + \sqrt{10})(\sqrt{11} - \sqrt{10})} = \frac{\sqrt{11} - \sqrt{10}}{11 - 10} = \sqrt{11} - \sqrt{10}$

$y$ の有理化：

$y = \frac{1}{\sqrt{11} - \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{11} + \sqrt{10}}{(\sqrt{11} - \sqrt{10})(\sqrt{11} + \sqrt{10})} = \frac{\sqrt{11} + \sqrt{10}}{11 - 10} = \sqrt{11} + \sqrt{10}$

次に、$x+y$ を計算します。

$x+y = (\sqrt{11} - \sqrt{10}) + (\sqrt{11} + \sqrt{10}) = 2\sqrt{11}$

3. 最終的な答え

$x+y = 2\sqrt{11}$