与えられた式を簡単にし、分母を有理化する問題です。具体的には、以下の5つの式を簡単にし、2つの分数の分母を有理化します。 (1) $\sqrt{3}(\sqrt{3}+\sqrt{6})$ (2) $(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{2}+\sqrt{5})$ (3) $(\sqrt{3}-3)(\sqrt{3}+3)$ (4) $(\sqrt{5}+2\sqrt{3})^2$ (5) $(\sqrt{7}-\sqrt{2})^2$ (6) $\frac{4}{\sqrt{3}}$ (7) $\frac{10}{\sqrt{2}}$

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた式を簡単にし、分母を有理化する問題です。具体的には、以下の5つの式を簡単にし、2つの分数の分母を有理化します。

(1) $\sqrt{3}(\sqrt{3}+\sqrt{6})$

(2) $(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{2}+\sqrt{5})$

(3) $(\sqrt{3}-3)(\sqrt{3}+3)$

(4) $(\sqrt{5}+2\sqrt{3})^2$

(5) $(\sqrt{7}-\sqrt{2})^2$

(6) $\frac{4}{\sqrt{3}}$

(7) $\frac{10}{\sqrt{2}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{3}(\sqrt{3}+\sqrt{6}) = \sqrt{3} \times \sqrt{3} + \sqrt{3} \times \sqrt{6} = 3 + \sqrt{18} = 3 + \sqrt{9 \times 2} = 3 + 3\sqrt{2}$

(2) $(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{2}+\sqrt{5}) = (\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$

(3) $(\sqrt{3}-3)(\sqrt{3}+3) = (\sqrt{3})^2 - 3^2 = 3 - 9 = -6$

(4) $(\sqrt{5}+2\sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \times \sqrt{5} \times 2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2 = 5 + 4\sqrt{15} + 4 \times 3 = 5 + 4\sqrt{15} + 12 = 17 + 4\sqrt{15}$

(5) $(\sqrt{7}-\sqrt{2})^2 = (\sqrt{7})^2 - 2 \times \sqrt{7} \times \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 7 - 2\sqrt{14} + 2 = 9 - 2\sqrt{14}$

(6) $\frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$

(7) $\frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $3 + 3\sqrt{2}$

(2) $3$

(3) $-6$

(4) $17 + 4\sqrt{15}$

(5) $9 - 2\sqrt{14}$

(6) $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

(7) $5\sqrt{2}$