7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6の中から異なる5つの数字を選び、5桁の自然数を作る場合の数を求めます。

1. 問題の内容

7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6の中から異なる5つの数字を選び、5桁の自然数を作る場合の数を求めます。

2. 解き方の手順

まず、5つの数字の選び方を考えます。

7個の数字から5個を選ぶ組み合わせの総数は $_{7}C_{5}$ です。

$_{7}C_{5} = \frac{7!}{5!2!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

しかし、5桁の自然数を作るので、先頭の数字は0であってはいけません。

したがって、先頭の数字が0である場合を考え、全体の数から引きます。

先頭の数字が0である場合、残りの4桁は6個の数字（1, 2, 3, 4, 5, 6）から4個を選ぶ順列で決まります。

この場合の数は $_{6}C_{4}$ です。

$_{6}C_{4} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

これらの4つの数字を並べる順序は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通りあります。したがって、先頭が0である5桁の数字の数は、$15 \times 24 = 360$通りです。

次に、選んだ5つの数字を並び替えて5桁の自然数を作ることを考えます。

選んだ5つの数字に0が含まれていない場合、並び替え方は $5!$ 通りです。

選んだ5つの数字に0が含まれている場合、先頭が0になる場合を除外する必要があります。

5つの数字の選び方（0を含む、含まない場合を区別しない）は21通りでした。

選んだ5つの数字を並び替える場合の数は、全体から先頭が0になる場合を引けば求まります。

まず、選んだ5つの数字を並び替える順列は $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通りです。

しかし、5桁の自然数のため、先頭に0が来る場合は除外します。

選んだ5つの数字の中に0が含まれている場合、先頭が0となる数字の並び方は、残りの4つの数字を並び替える $4! = 24$ 通りです。

まず、7個の数字から5個を選んで並べる順列の総数を考えます。これは $_{7}P_{5} = \frac{7!}{(7-5)!} = \frac{7!}{2!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520$ 通りです。

このうち、先頭が0であるものを引きます。先頭が0の場合、残りの4つの数字は6個の数字から選んで並べるので、$_{6}P_{4} = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ 通りです。

したがって、求める場合の数は $2520 - 360 = 2160$ 通りです。

3. 最終的な答え

2160