与えられた条件の下で、以下の3つの式の値を求める。 (1) $x = \frac{3}{4}$, $y = -3$ のとき、$(2x-y)^2 - (2x+y)^2$ の値を求める。 (2) $a = 49$, $b = 51$ のとき、$\frac{a^2 + b^2}{2} + ab$ の値を求める。 (3) $x + y = -3$, $xy = 1$ のとき、$x^2 - 2xy + y^2$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた条件の下で、以下の3つの式の値を求める。

(1) $x = \frac{3}{4}$, $y = -3$ のとき、$(2x-y)^2 - (2x+y)^2$ の値を求める。

(2) $a = 49$, $b = 51$ のとき、$\frac{a^2 + b^2}{2} + ab$ の値を求める。

(3) $x + y = -3$, $xy = 1$ のとき、$x^2 - 2xy + y^2$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $(2x-y)^2 - (2x+y)^2$ を展開して簡単化し、その後、$x$ と $y$ の値を代入する。

$$(2x-y)^2 - (2x+y)^2 = (4x^2 - 4xy + y^2) - (4x^2 + 4xy + y^2) = -8xy$$

$x = \frac{3}{4}$, $y = -3$ を代入する。

$$-8xy = -8 \cdot \frac{3}{4} \cdot (-3) = 18$$

(2) $\frac{a^2 + b^2}{2} + ab$ を変形する。

$$\frac{a^2 + b^2}{2} + ab = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{2} = \frac{(a+b)^2}{2}$$

$a = 49$, $b = 51$ を代入する。

$$\frac{(49+51)^2}{2} = \frac{100^2}{2} = \frac{10000}{2} = 5000$$

(3) $x^2 - 2xy + y^2$ を変形する。

$$x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy$$

$x + y = -3$, $xy = 1$ を代入する。

$$(x-y)^2 = (-3)^2 - 4 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$$

3. 最終的な答え

(1) 18

(2) 5000

(3) 5