$x = 2 + \sqrt{3}$、 $y = 2 - \sqrt{3}$のとき、$(1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})$の値を求めよ。

## 問題１

1. 問題の内容

$x = 2 + \sqrt{3}$、 $y = 2 - \sqrt{3}$のとき、$(1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$1+\frac{1}{x}$ と $1+\frac{1}{y}$ をそれぞれ計算します。

$1 + \frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{2+\sqrt{3}}$

$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$を計算するために、分母を有理化します。

$\frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{1}{2+\sqrt{3}} \cdot \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = 2-\sqrt{3}$

したがって、

$1 + \frac{1}{x} = 1 + 2 - \sqrt{3} = 3 - \sqrt{3}$

次に、$1 + \frac{1}{y}$を計算します。

$1 + \frac{1}{y} = 1 + \frac{1}{2-\sqrt{3}}$

$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$を計算するために、分母を有理化します。

$\frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{1}{2-\sqrt{3}} \cdot \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}$

したがって、

$1 + \frac{1}{y} = 1 + 2 + \sqrt{3} = 3 + \sqrt{3}$

最後に、$(1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})$を計算します。

$(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3}) = 3^2 - (\sqrt{3})^2 = 9 - 3 = 6$

3. 最終的な答え

6

## 問題2

1. 問題の内容

$x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$、 $y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ のとき、$\frac{y}{x} - \frac{x}{y}$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{y}{x}$ と $\frac{x}{y}$ を計算します。

$\frac{y}{x} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$

$\frac{y}{x}$を計算するために、分母を有理化します。

$\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2}{3 - 2} = \frac{3 - 2\sqrt{6} + 2}{1} = 5 - 2\sqrt{6}$

次に、$\frac{x}{y}$を計算します。

$\frac{x}{y} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$

$\frac{x}{y}$を計算するために、分母を有理化します。

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2}{3 - 2} = \frac{3 + 2\sqrt{6} + 2}{1} = 5 + 2\sqrt{6}$

最後に、$\frac{y}{x} - \frac{x}{y}$を計算します。

$\frac{y}{x} - \frac{x}{y} = (5 - 2\sqrt{6}) - (5 + 2\sqrt{6}) = 5 - 2\sqrt{6} - 5 - 2\sqrt{6} = -4\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$-4\sqrt{6}$