問題3：周の長さが等しい正方形と長方形があり、正方形の面積が長方形の面積より大きいことを、「周の長さを$4x$、長方形の縦は正方形の一辺より$a$だけ短い」として証明する。 問題4：$m$は5で割ると商が$a$で余りが3となる自然数であるとき、$m(m+1)$を5で割ったときの商と余りを求める。

1. 問題の内容

問題3：周の長さが等しい正方形と長方形があり、正方形の面積が長方形の面積より大きいことを、「周の長さを$4x$、長方形の縦は正方形の一辺より$a$だけ短い」として証明する。

問題4：$m$は5で割ると商が$a$で余りが3となる自然数であるとき、$m(m+1)$を5で割ったときの商と余りを求める。

2. 解き方の手順

問題3：

正方形の一辺の長さを$x$とする。正方形の周の長さは$4x$である。

長方形の周の長さも$4x$である。長方形の縦の長さは$x-a$である。

長方形の横の長さを$y$とすると、長方形の周の長さは$2(x-a+y)$となる。

したがって、$2(x-a+y) = 4x$より、$x-a+y = 2x$、よって、$y = x+a$となる。

正方形の面積は$x^2$である。

長方形の面積は$(x-a)(x+a) = x^2 - a^2$である。

$x^2 > x^2 - a^2$より、正方形の面積は長方形の面積より大きいことが証明された。

問題4：

$m$は5で割ると商が$a$で余りが3なので、$m = 5a + 3$と表せる。ここで、$a$は自然数である。

$m(m+1) = (5a+3)(5a+3+1) = (5a+3)(5a+4) = 25a^2 + 20a + 15a + 12 = 25a^2 + 35a + 12$

$m(m+1)$を5で割ると、

$25a^2 + 35a + 12 = 5(5a^2 + 7a + 2) + 2$

したがって、商は$5a^2 + 7a + 2$、余りは2となる。

3. 最終的な答え

問題3：正方形の面積は長方形の面積より大きい。

問題4：商は$5a^2 + 7a + 2$、余りは$2$。