1から9までの数字をすべて1回ずつ使って9桁の整数を作る。以下の条件を満たす整数はそれぞれ何個あるか。 (1) 2, 4, 6, 8 がどれも隣り合わない。 (2) 2, 4, 6, 8 だけを見ると、2, 4, 6, 8 の順に並んでいる。 (3) 3, 6, 9 はどれも隣り合わず、さらに、3, 6, 9 だけを見ると、3が先頭である。

1. 問題の内容

1から9までの数字をすべて1回ずつ使って9桁の整数を作る。以下の条件を満たす整数はそれぞれ何個あるか。

(1) 2, 4, 6, 8 がどれも隣り合わない。

(2) 2, 4, 6, 8 だけを見ると、2, 4, 6, 8 の順に並んでいる。

(3) 3, 6, 9 はどれも隣り合わず、さらに、3, 6, 9 だけを見ると、3が先頭である。

2. 解き方の手順

(1) 2, 4, 6, 8 がどれも隣り合わない場合

まず、1, 3, 5, 7, 9 の5つの数字を並べる。これは $5!$ 通りある。

次に、2, 4, 6, 8 の4つの数字を、上記で並べた5つの数字の間または両端に入れる。これは、6つの場所から4つ選んで並べる順列なので、$P(6, 4)$ 通りある。

したがって、求める場合の数は、$5! \times P(6, 4) = 5! \times \frac{6!}{(6-4)!} = 5! \times \frac{6!}{2!} = 120 \times 360 = 43200$ 通り。

(2) 2, 4, 6, 8 だけを見ると、2, 4, 6, 8 の順に並んでいる場合

9つの場所に2, 4, 6, 8を配置する場所を選ぶ。これは $\binom{9}{4}$ 通り。

残りの5つの場所に1, 3, 5, 7, 9を並べる。これは $5!$ 通り。

したがって、求める場合の数は $\binom{9}{4} \times 5! = \frac{9!}{4!5!} \times 5! = \frac{9!}{4!} = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 15120$ 通り。

(3) 3, 6, 9 はどれも隣り合わず、さらに、3, 6, 9 だけを見ると、3が先頭である場合

まず、1, 2, 4, 5, 7, 8 の6つの数字を並べる。これは $6!$ 通り。

次に、3, 6, 9 の3つの数字を、上記で並べた6つの数字の間または両端に入れる。

このとき、3, 6, 9 は 3, 6, 9 の順に並んでいる必要がある。

3, 6, 9 を入れる場所は7箇所あるので、7箇所から3箇所を選ぶ組み合わせを考える。

$\binom{7}{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通り

したがって、求める場合の数は $6! \times \binom{7}{3} = 720 \times 35 = 25200$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 43200 通り

(2) 15120 通り

(3) 25200 通り