関数 $g(x)$ が連続関数であるとき、$\lim_{h \to 0} g(x+h) = g(x)$ となるのはなぜか、という質問です。

1. 問題の内容

関数 $g(x)$ が連続関数であるとき、$\lim_{h \to 0} g(x+h) = g(x)$ となるのはなぜか、という質問です。

2. 解き方の手順

連続関数の定義を思い出します。

関数 $g(x)$ が $x=a$ で連続であるとは、以下の3つの条件がすべて満たされることです。

(1) $g(a)$ が定義されている。

(2) $\lim_{x \to a} g(x)$ が存在する。

(3) $\lim_{x \to a} g(x) = g(a)$

関数 $g(x)$ が連続関数であるということは、定義域内のすべての $x$ について、上記の3つの条件が満たされるということです。

ここで、$\lim_{h \to 0} g(x+h)$ について考えます。$h \to 0$ のとき、$x+h \to x$ となります。

$g(x)$ が連続関数なので、$x$ において上記の連続の定義が適用できます。

つまり、$\lim_{x' \to x} g(x') = g(x)$ が成立します。ここで、$x' = x+h$ と置けば、$h \to 0$ のとき $x' \to x$ となるので、

$$\lim_{h \to 0} g(x+h) = g(x)$$

が成り立ちます。

3. 最終的な答え

関数 $g(x)$ が連続関数であるとき、$\lim_{h \to 0} g(x+h) = g(x)$ となるのは、連続関数の定義そのものだからです。

連続関数の定義により、$x$ における関数の値と、$x$ に限りなく近い点での関数の値の極限が一致することが保証されているからです。