全体集合$U$は1以上100以下の整数の集合である。$U$の部分集合$A, B, C$はそれぞれ、$A = \{n | nは2の倍数\}$, $B = \{n | nは3の倍数\}$, $C = \{n | nは5の倍数\}$で定義される。このとき、集合$A \cup B \cup \overline{C}$の要素の個数を求める。

1. 問題の内容

全体集合$U$は1以上100以下の整数の集合である。$U$の部分集合$A, B, C$はそれぞれ、$A = \{n | nは2の倍数\}$, $B = \{n | nは3の倍数\}$, $C = \{n | nは5の倍数\}$で定義される。このとき、集合$A \cup B \cup \overline{C}$の要素の個数を求める。

2. 解き方の手順

まず、$A, B, C$の要素の個数を求める。

$|A| = \lfloor \frac{100}{2} \rfloor = 50$

$|B| = \lfloor \frac{100}{3} \rfloor = 33$

$|C| = \lfloor \frac{100}{5} \rfloor = 20$

$\overline{C}$は$C$の補集合なので、$|\overline{C}| = |U| - |C| = 100 - 20 = 80$

$|A \cup B \cup \overline{C}| = |A \cup B| + |\overline{C}| - |(A \cup B) \cap \overline{C}|$

ここで、$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 50 + 33 - \lfloor \frac{100}{6} \rfloor = 50 + 33 - 16 = 67$

$(A \cup B) \cap \overline{C} = (A \cap \overline{C}) \cup (B \cap \overline{C})$

$| (A \cup B) \cap \overline{C} | = |A \cap \overline{C}| + |B \cap \overline{C}| - |A \cap B \cap \overline{C}|$

$|A \cap \overline{C}| = |A| - |A \cap C| = 50 - \lfloor \frac{100}{10} \rfloor = 50 - 10 = 40$

$|B \cap \overline{C}| = |B| - |B \cap C| = 33 - \lfloor \frac{100}{15} \rfloor = 33 - 6 = 27$

$|A \cap B \cap C| = \lfloor \frac{100}{30} \rfloor = 3$

$|A \cap B \cap \overline{C}| = |A \cap B| - |A \cap B \cap C| = 16 - 3 = 13$

$|(A \cap \overline{C}) \cup (B \cap \overline{C})| = 40 + 27 - 13 = 54$

$|A \cup B \cup \overline{C}| = |A \cup B| + |\overline{C}| - |(A \cup B) \cap \overline{C}| = 67 + 80 - 54 = 93$

または、ド・モルガンの法則より、$\overline{C} = U - C$であるから

$A \cup B \cup \overline{C} = A \cup B \cup (U - C) = U - (U - (A \cup B \cup \overline{C})) = U - ((U - (A \cup B)) \cap C)$

$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$

$|A \cup B \cup \overline{C}| = |U| - |\overline{A} \cap \overline{B} \cap C|$

$|\overline{A} \cap \overline{B} \cap C| = |C| - |(A \cup B) \cap C| = |C| - |(A \cap C) \cup (B \cap C)| = 20 - (|A \cap C| + |B \cap C| - |A \cap B \cap C|) = 20 - (\lfloor \frac{100}{10} \rfloor + \lfloor \frac{100}{15} \rfloor - \lfloor \frac{100}{30} \rfloor) = 20 - (10 + 6 - 3) = 20 - 13 = 7$

$|A \cup B \cup \overline{C}| = |U| - |\overline{A} \cap \overline{B} \cap C| = 100 - 7 = 93$

3. 最終的な答え

93