$k$を定数とし、自然数$m, n$に関する条件$p, q, r$が与えられている。 $p: m > k$ または $n > k$ $q: mn > k^2$ $r: mn > k$ (1) $p$の否定$\overline{p}$を求める。 (2) $k = 1$のとき、$p$は$q$であるための何条件かを求める。 (3) $k = 2$のとき、$p$は$r$であるための何条件か、また、$p$は$q$であるための何条件かを求める。

1. 問題の内容

$k$を定数とし、自然数$m, n$に関する条件$p, q, r$が与えられている。

$p: m > k$ または $n > k$

$q: mn > k^2$

$r: mn > k$

(1) $p$の否定$\overline{p}$を求める。

(2) $k = 1$のとき、$p$は$q$であるための何条件かを求める。

(3) $k = 2$のとき、$p$は$r$であるための何条件か、また、$p$は$q$であるための何条件かを求める。

2. 解き方の手順

(1) $p$の否定$\overline{p}$は、$m > k$ または $n > k$ の否定なので、$m \le k$ かつ $n \le k$ となる。

(2) $k=1$のとき、$p: m > 1$ または $n > 1$, $q: mn > 1$ である。

$p \Rightarrow q$ を調べる。

$m = 2, n = 1$ のとき、$m > 1$ かつ $n = 1$ なので$p$を満たす。しかし、$mn = 2 \cdot 1 = 2 > 1$ なので、$q$を満たす。

$m = 1, n = 2$ のとき、$m = 1$ かつ $n > 1$ なので$p$を満たす。しかし、$mn = 1 \cdot 2 = 2 > 1$ なので、$q$を満たす。

$m = 3, n = 3$ のとき、$m > 1$ かつ $n > 1$ なので$p$を満たす。$mn = 3 \cdot 3 = 9 > 1$ なので、$q$を満たす。

$m = \frac{1}{2}, n = 4$とすると、$mn=2>1$となるが、$m, n$が自然数という条件を満たさない。

$q \Rightarrow p$ を調べる。

$m = 2, n = 1$ のとき、$mn = 2 > 1$ なので、$q$を満たす。$m > 1$ なので$p$を満たす。

$m = 1, n = 2$ のとき、$mn = 2 > 1$ なので、$q$を満たす。$n > 1$ なので$p$を満たす。

$m = 10, n = 10$ のとき、$mn = 100 > 1$ なので、$q$を満たす。$m > 1$かつ$n > 1$なので、$p$を満たす。

$m = 1, n=1$のとき、$mn = 1$より$mn > 1$を満たさないので、$q$を満たさない。

$p$を満たさないのは、$m \le 1$かつ$n \le 1$のとき。自然数なので、$m=1$かつ$n=1$のときのみである。

よって、$p \Leftrightarrow q$。

(3) $k=2$のとき、$p: m > 2$ または $n > 2$, $q: mn > 4$, $r: mn > 2$ である。

$p \Rightarrow r$ を調べる。

$m = 3, n = 1$のとき、$m > 2$より$p$を満たす。$mn = 3 > 2$より$r$を満たす。

$m = 1, n = 3$のとき、$n > 2$より$p$を満たす。$mn = 3 > 2$より$r$を満たす。

$r \Rightarrow p$ を調べる。

$m = 1, n = 3$のとき、$mn = 3 > 2$より$r$を満たす。$n > 2$より$p$を満たす。

$m = 1, n = 2$のとき、$mn = 2$より$r$を満たさない。

$m = 2, n = 1$のとき、$mn = 2$より$r$を満たさない。

$m = 3, n = 3$のとき、$m > 2$かつ$n > 2$なので$p$を満たす。$mn = 9 > 2$なので$r$を満たす。

$m=1, n=4$とすると、$mn=4>2$となるので$r$を満たす。しかし、$m \le 2$かつ$n > 2$なので$n > 2$となり$p$を満たす。

$m=2, n=2$とすると、$mn=4>2$となるので$r$を満たす。しかし、$m \le 2$かつ$n \le 2$なので$p$を満たさない。

したがって、$p$は$r$であるための十分条件であるが、必要条件ではない。

$p \Rightarrow q$ を調べる。

$m=3, n=1$ のとき、$m>2$ なので、$p$を満たす。しかし、$mn=3>4$とはならないので、$q$を満たさない。

$q \Rightarrow p$ を調べる。

$m=1, n=5$ のとき、$mn=5>4$ なので、$q$を満たす。しかし、$m<2$ かつ $n>2$ なので、$p$を満たす。

$m=1, n=3$とすると、$p$を満たす。$mn=3 > 4$を満たさないので$q$を満たさない。

$m=1, n=5$とすると、$q$を満たす。$m<2$ かつ $n > 2$ なので、$p$を満たす。

$m=3, n=1$とすると、$p$を満たす。$mn=3>4$を満たさないので$q$を満たさない。

$m=10, n=10$とすると、$p$を満たす。$mn=100>4$を満たす。

$m,n$がともに$2$以下の自然数であれば、$p$を満たさず、$q$を満たさない。例えば、$m=1, n=1$。

したがって、$p$は$q$であるための必要条件でも十分条件でもない。

3. 最終的な答え

(1) ク：②

(2) ケ：①

(3) コ：②

(4) サ：③