放物線 $y = x^2$ と直線 $y = a(x-1)$ が異なる2点P, Qで交わっているとき、以下の問いに答える。 (1) $a$ のとりうる値の範囲を求めよ。 (2) $a$ の値が(1)の範囲で変化するとき、線分PQの中点の軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2$ と直線 $y = a(x-1)$ が異なる2点P, Qで交わっているとき、以下の問いに答える。

(1) $a$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(2) $a$ の値が(1)の範囲で変化するとき、線分PQの中点の軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $y = x^2$ と直線 $y = a(x-1)$ の交点の $x$ 座標は、

$x^2 = a(x-1)$

$x^2 - ax + a = 0$

の解である。

異なる2点で交わる条件は、判別式 $D > 0$ であるから、

$D = (-a)^2 - 4(1)(a) = a^2 - 4a > 0$

$a(a-4) > 0$

よって、$a < 0$ または $a > 4$

(2) $x^2 - ax + a = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = a$

線分PQの中点の $x$ 座標を $X$ とすると、

$X = \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{a}{2}$

よって、$a = 2X$

線分PQの中点の $y$ 座標を $Y$ とすると、中点は直線 $y = a(x-1)$ 上にあるので、

$Y = a(X-1) = 2X(X-1) = 2X^2 - 2X$

また、(1)の結果より、$a < 0$ または $a > 4$ であるから、

$2X < 0$ または $2X > 4$

$X < 0$ または $X > 2$

よって、線分PQの中点の軌跡は、$y = 2x^2 - 2x$ ($x < 0, x > 2$)

3. 最終的な答え

(1) $a < 0$ または $a > 4$

(2) $y = 2x^2 - 2x$ ($x < 0, x > 2$)