大小中小の3つのサイコロを投げたとき、出た目の積が4の倍数になる場合は何通りあるかを求める問題です。

## 問題 7 の解答

1. 問題の内容

大小中小の3つのサイコロを投げたとき、出た目の積が4の倍数になる場合は何通りあるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

積が4の倍数になるのは、次の3つの場合が考えられます。

* 3つの目のうち少なくとも1つが4である場合 (4, 8, 12, 16, 20, 24, ...)

* 3つの目のうち少なくとも2つが2または6である場合 (2, 6)

* 3つの目のうち1つが4の倍数でなく、他の2つの目が偶数(2または6)である場合。

全体の場合の数から、積が4の倍数にならない場合を引いて求める方が簡単です。

積が4の倍数にならないのは、次のいずれかの場合です。

* 3つの目全てが奇数である場合

* 3つの目のうち1つが2または6で、残りの2つが奇数である場合

全体の場合の数は $6 \times 6 \times 6 = 216$ 通りです。

3つの目全てが奇数である場合は、$3 \times 3 \times 3 = 27$ 通りです (奇数は1, 3, 5 の3種類)。

3つの目のうち1つが2または6で、残りの2つが奇数である場合: 2または6である目の選び方は3通りあり、残りの2つの目が奇数である場合は $3 \times 3 = 9$ 通りです。2または6の目が1つの場合は $3 \times 2 \times 3 \times 3 = 54$ 通りです。

したがって、積が4の倍数にならない場合は、$27 + 54 = 81$ 通りです。

したがって、積が4の倍数になる場合は、$216 - 81 = 135$ 通りです。

3. 最終的な答え

135通り

## 問題 8 の解答

1. 問題の内容

500円、100円、10円の硬貨がそれぞれ十分にあるとき、これらの硬貨を使って1200円を支払う方法は何通りあるかを求める問題です。ただし、使わない硬貨があっても良いものとします。

2. 解き方の手順

500円硬貨の枚数を $x$、100円硬貨の枚数を $y$、10円硬貨の枚数を $z$ とすると、

$500x + 100y + 10z = 1200$ となります。

これを整理すると、$5x + y + \frac{z}{10} = 12$ となり、$z$ は 10 の倍数なので、

$z$を改めて$z'$として、$z=10z'$ とおくと、$5x + y + z' = 12$となります。

$x$, $y$, $z'$ は0以上の整数です。

$x$ の値で場合分けします。

* $x = 0$ のとき: $y + z' = 12$ となり、$y$ は $0$ から $12$ までの任意の整数をとれるので、$13$ 通りです。

* $x = 1$ のとき: $y + z' = 7$ となり、$y$ は $0$ から $7$ までの任意の整数をとれるので、$8$ 通りです。

* $x = 2$ のとき: $y + z' = 2$ となり、$y$ は $0$ から $2$ までの任意の整数をとれるので、$3$ 通りです。

したがって、支払い方は $13 + 8 + 3 = 24$ 通りです。

3. 最終的な答え

24通り