赤玉8個、白玉7個が入った袋から6個の玉を取り出す。以下の条件を満たす取り出し方の数を求める。 (1) 赤玉4個、白玉2個を取り出す (2) 少なくとも1個は白玉を取り出す (3) 特定の2つの玉a,bをともに取り出す

1. 問題の内容

赤玉8個、白玉7個が入った袋から6個の玉を取り出す。以下の条件を満たす取り出し方の数を求める。

(1) 赤玉4個、白玉2個を取り出す

(2) 少なくとも1個は白玉を取り出す

(3) 特定の2つの玉a,bをともに取り出す

2. 解き方の手順

(1) 赤玉4個、白玉2個を取り出す場合

赤玉8個から4個を選ぶ組み合わせは ${}_8C_4$ 通り。

白玉7個から2個を選ぶ組み合わせは ${}_7C_2$ 通り。

よって、求める取り出し方は ${}_8C_4 \times {}_7C_2$ 通り。

${}_8C_4 = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

${}_7C_2 = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

${}_8C_4 \times {}_7C_2 = 70 \times 21 = 1470$

(2) 少なくとも1個は白玉を取り出す場合

全体から白玉を1個も取り出さない場合を引く。

全体は、15個から6個を取り出すので ${}_{15}C_6$ 通り。

白玉を1個も取り出さない場合は、赤玉8個から6個を取り出すので ${}_8C_6$ 通り。

よって、求める取り出し方は ${}_{15}C_6 - {}_8C_6$ 通り。

${}_{15}C_6 = \frac{15!}{6!9!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 5005$

${}_8C_6 = \frac{8!}{6!2!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

${}_{15}C_6 - {}_8C_6 = 5005 - 28 = 4977$

(3) 特定の2つの玉a,bをともに取り出す場合

2つの玉a,bを既に選んでいるので、残りの13個から4個を選べば良い。

求める取り出し方は ${}_{13}C_4$ 通り。

${}_{13}C_4 = \frac{13!}{4!9!} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 715$

3. 最終的な答え

(1) 1470通り

(2) 4977通り

(3) 715通り