箱の中に3枚のカードA, B, Cが入っている。この箱から1枚のカードを取り出し、記録して戻すという試行を繰り返す。 (1) 試行を3回繰り返す場合について、 　(i) 3回とも同じカードが出る確率 　(ii) ちょうど2種類のカードが出る確率 (2) 同じカードがちょうど3回出た時点で終了する場合について、7回目で終了となる確率を求める。

1. 問題の内容

箱の中に3枚のカードA, B, Cが入っている。この箱から1枚のカードを取り出し、記録して戻すという試行を繰り返す。

(1) 試行を3回繰り返す場合について、

　(i) 3回とも同じカードが出る確率

　(ii) ちょうど2種類のカードが出る確率

(2) 同じカードがちょうど3回出た時点で終了する場合について、7回目で終了となる確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

　(i) 3回とも同じカードが出る確率

　　3回ともAが出る確率は、$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$

　　3回ともBが出る確率は、$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$

　　3回ともCが出る確率は、$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$

　　したがって、3回とも同じカードが出る確率は、$\frac{1}{27} + \frac{1}{27} + \frac{1}{27} = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}$

　(ii) ちょうど2種類のカードが出る確率

　　3回のうち2回がA, 1回がBである確率は、${}_3C_2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{1}{3})^1 = 3 \times \frac{1}{27} = \frac{3}{27}$

　　同様に、(A, C), (B, A), (B, C), (C, A), (C, B)の場合もそれぞれ$\frac{3}{27}$

　　よって、ちょうど2種類のカードが出る確率は、$\frac{3}{27} \times 6 = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$

(2)

7回目で終了するということは、6回目までに同じカードが2回出ており、7回目で3回目のカードが出て終了するということである。

同じカードが出るまでにかかる回数をXとする。

6回目までに同じカードが2回出て、7回目で同じカードが出て終了する確率を求める。

まず、7回目に試行が終了するためには、6回目までに同じカードが2回、それ以外のカードが4回出ている必要がある。

6回目までに同じカードが2回出る場合の数は、${}_6C_2$。同じカードの種類は3種類。残りの4回は、残りの2種類のカードから出るので、$2^4$通り。

ただし、6回目までに同じカードが3回以上出ている場合は除く必要があるので、これは考えない。

6回目までに、1種類のカードがちょうど2回出て、残りの4回で異なるカードが出る確率は、

${}_6C_2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^4 = 15 \times \frac{1}{9} \times \frac{16}{81} = \frac{240}{729}$

7回目に、3回目となる同じカードが出る確率は、$\frac{1}{3}$

したがって、7回目に試行が終了する確率は、

$3 \times \frac{240}{729} \times \frac{1}{3} = \frac{240}{729} = \frac{80}{243}$

3. 最終的な答え

(1)(i) $\frac{1}{9}$

(1)(ii) $\frac{2}{3}$

(2) $\frac{80}{243}$