二次方程式 $x^2 - 2ax - 2a + 3 = 0$ が与えられています。この方程式が以下の条件を満たすような定数 $a$ の値の範囲を求めます。 (3) $x$ 軸の $x < -2$ の部分で異なる2点で交わる。

1. 問題の内容

二次方程式 $x^2 - 2ax - 2a + 3 = 0$ が与えられています。この方程式が以下の条件を満たすような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

(3) $x$ 軸の $x < -2$ の部分で異なる2点で交わる。

2. 解き方の手順

$f(x) = x^2 - 2ax - 2a + 3$ とおきます。$f(x) = 0$ が $x < -2$ の範囲で異なる2つの実数解を持つための条件は、以下の3つです。

(i) 判別式 $D > 0$

(ii) 軸の位置 $x = a < -2$

(iii) $f(-2) > 0$

(i) 判別式 $D = (-2a)^2 - 4(1)(-2a + 3) = 4a^2 + 8a - 12 = 4(a^2 + 2a - 3) = 4(a+3)(a-1) > 0$ より、$a < -3$ または $a > 1$。

(ii) 軸の位置 $x = a < -2$

(iii) $f(-2) = (-2)^2 - 2a(-2) - 2a + 3 = 4 + 4a - 2a + 3 = 2a + 7 > 0$ より、$a > -\frac{7}{2}$。

(i), (ii), (iii) のすべての条件を満たす $a$ の範囲を求めます。

$a < -3$ または $a > 1$、かつ $a < -2$、かつ $a > -\frac{7}{2}$。

数直線を書いて考えると、 $-\frac{7}{2} < a < -3$ は条件を満たしません。$1 < a$ のとき、$a < -2$を満たさないため、$1 < a$ も条件を満たしません。

したがって、$-\frac{7}{2} < a < -3$ が条件を満たします。

3. 最終的な答え

$-\frac{7}{2} < a < -3$