(1) 放物線 $C_1: y = 2ax^2 - 4x$ ($a \neq 0$) の頂点Pの座標を求める。 (2) 放物線 $C_2: y = -\frac{1}{2}x^2 + bx + 2$ の頂点Qの座標を求める。 (3) 座標Pと座標Qが一致するとき、$a$と$b$の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $C_1: y = 2ax^2 - 4x$ ($a \neq 0$) の頂点Pの座標を求める。

(2) 放物線 $C_2: y = -\frac{1}{2}x^2 + bx + 2$ の頂点Qの座標を求める。

(3) 座標Pと座標Qが一致するとき、$a$と$b$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $C_1: y = 2ax^2 - 4x$ の頂点の座標を求める。平方完成を行う。

$y = 2a(x^2 - \frac{2}{a}x)$

$y = 2a(x^2 - \frac{2}{a}x + \frac{1}{a^2} - \frac{1}{a^2})$

$y = 2a(x - \frac{1}{a})^2 - \frac{2}{a}$

よって、頂点Pの座標は $(\frac{1}{a}, -\frac{2}{a})$

したがって、1の答えは 4、2の答えは 5。

(2) 放物線 $C_2: y = -\frac{1}{2}x^2 + bx + 2$ の頂点の座標を求める。平方完成を行う。

$y = -\frac{1}{2}(x^2 - 2bx) + 2$

$y = -\frac{1}{2}(x^2 - 2bx + b^2 - b^2) + 2$

$y = -\frac{1}{2}(x - b)^2 + \frac{1}{2}b^2 + 2$

よって、頂点Qの座標は $(b, \frac{b^2}{2} + 2)$

したがって、3の答えは 3、4の答えは 5。

(3) 座標Pと座標Qが一致するとき、$\frac{1}{a} = b$ かつ $-\frac{2}{a} = \frac{b^2}{2} + 2$。

$\frac{1}{a} = b$より、$a = \frac{1}{b}$。

$-\frac{2}{a} = \frac{b^2}{2} + 2$に代入すると、

$-2b = \frac{b^2}{2} + 2$

$0 = \frac{b^2}{2} + 2b + 2$

$0 = b^2 + 4b + 4$

$0 = (b + 2)^2$

$b = -2$

$a = \frac{1}{b} = -\frac{1}{2}$

したがって、5の答えは 1、6の答えは 3。

3. 最終的な答え

1: 4

2: 5

3: 3

4: 5

5: 1

6: 3