8人の生徒の10点満点の英単語テストの得点データ $3, 10, 2, 7, 8, 7, 9, 10$ が与えられている。 (1) このデータの平均値 $\bar{x}$ と、各値の2乗の平均値 $\overline{x^2}$ を求める。 (2) このデータの分散 $s^2$ と標準偏差 $s$ を求める。

1. 問題の内容

8人の生徒の10点満点の英単語テストの得点データ $3, 10, 2, 7, 8, 7, 9, 10$ が与えられている。

(1) このデータの平均値 $\bar{x}$ と、各値の2乗の平均値 $\overline{x^2}$ を求める。

(2) このデータの分散 $s^2$ と標準偏差 $s$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 平均値 $\bar{x}$ は、データの総和をデータ数で割ることで求められる。

$\bar{x} = \frac{3+10+2+7+8+7+9+10}{8} = \frac{56}{8} = 7$

各値の2乗の平均値 $\overline{x^2}$ は、各データの2乗を計算し、それらの総和をデータ数で割ることで求められる。

$\overline{x^2} = \frac{3^2 + 10^2 + 2^2 + 7^2 + 8^2 + 7^2 + 9^2 + 10^2}{8} = \frac{9 + 100 + 4 + 49 + 64 + 49 + 81 + 100}{8} = \frac{456}{8} = 57$

(2) 分散 $s^2$ は、各データの偏差の2乗の平均値である。すなわち、$\overline{(x - \bar{x})^2}$ を計算する。これは $\overline{x^2} - (\bar{x})^2$ で計算できる。

$s^2 = \overline{x^2} - (\bar{x})^2 = 57 - 7^2 = 57 - 49 = 8$

標準偏差 $s$ は、分散の平方根である。

$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) 平均値 $\bar{x}$ は 7。各値の2乗の平均値 $\overline{x^2}$ は 57。

(2) 分散 $s^2$ は 8。標準偏差 $s$ は $2\sqrt{2}$。