整式 $Q(x)$ を $x+1$ で割ると余りが $-3$ であり、$x-2$ で割ると余りが $3$ である。このとき、$Q(x)$ を $x^2-x-2$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

整式 $Q(x)$ を $x+1$ で割ると余りが $-3$ であり、$x-2$ で割ると余りが $3$ である。このとき、$Q(x)$ を $x^2-x-2$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

$Q(x)$ を $x^2 - x - 2$ で割ったときの商を $P(x)$、余りを $ax+b$ とおくと、

$$Q(x) = (x^2 - x - 2)P(x) + ax + b$$

と表せる。

ここで、$x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2)$ であるから、

$$Q(x) = (x+1)(x-2)P(x) + ax + b$$

$Q(x)$ を $x+1$ で割った余りが $-3$ であることから、

$Q(-1) = -3$。

$Q(x)$ を $x-2$ で割った余りが $3$ であることから、

$Q(2) = 3$。

上記の式に $x = -1$ を代入すると、

$$Q(-1) = (-1+1)(-1-2)P(-1) + a(-1) + b = -a + b$$

したがって、$-a + b = -3$。

上記の式に $x = 2$ を代入すると、

$$Q(2) = (2+1)(2-2)P(2) + a(2) + b = 2a + b$$

したがって、$2a + b = 3$。

$-a + b = -3$ と $2a + b = 3$ を連立させて $a$ と $b$ を求める。

$2a + b - (-a + b) = 3 - (-3)$ より、

$3a = 6$

$a = 2$。

$-2 + b = -3$ より、

$b = -1$。

よって、余りは $2x - 1$ である。

3. 最終的な答え

$2x - 1$