問題は、与えられた命題の真偽を調べ、さらにその逆、対偶、裏の命題を述べ、それぞれの真偽を調べることです。具体的には、以下の2つの命題について行います。 (1) $|x|=2 \implies x^2=4$ (2) $p^2=pq \implies p=q$

1. 問題の内容

問題は、与えられた命題の真偽を調べ、さらにその逆、対偶、裏の命題を述べ、それぞれの真偽を調べることです。具体的には、以下の2つの命題について行います。

(1) $|x|=2 \implies x^2=4$

(2) $p^2=pq \implies p=q$

2. 解き方の手順

(1) $|x|=2 \implies x^2=4$

* 元の命題: $|x|=2 \implies x^2=4$

$|x|=2$ のとき、$x = 2$ または $x = -2$ です。どちらの場合も、$x^2 = 4$ となるので、元の命題は真です。

* 逆: $x^2=4 \implies |x|=2$

$x^2=4$ のとき、$x=2$ または $x=-2$ です。どちらの場合も、$|x|=2$ となるので、逆の命題は真です。

* 対偶: $x^2 \neq 4 \implies |x| \neq 2$

$x^2 \neq 4$ ならば、$x \neq 2$ かつ $x \neq -2$ です。したがって、$|x| \neq 2$ となるので、対偶は真です。（対偶は元の命題が真なので真であることは明らかです。）

* 裏: $|x| \neq 2 \implies x^2 \neq 4$

$|x| \neq 2$ のとき、$x \neq 2$ かつ $x \neq -2$ です。例えば、$x=3$ のとき $|x|=3 \neq 2$ ですが、$x^2 = 9 \neq 4$ となり、これは成立します。別の例として、$x=0$のとき、$|x| = 0 \neq 2$ですが、$x^2 = 0 \neq 4$ となり、これも成立します。しかし、$x = -3$のとき、$|x| = 3 \neq 2$ですが、$x^2 = 9 \neq 4$ となり、これも成立します。これは真です。

(2) $p^2=pq \implies p=q$

* 元の命題: $p^2=pq \implies p=q$

$p^2 = pq$ は $p^2 - pq = 0$ と変形できます。これを因数分解すると $p(p-q) = 0$ となります。したがって、$p=0$ または $p=q$ です。$p=0$のとき、$p=q$とは限りません。例えば、$p=0, q=1$ とすると、$p^2 = 0$, $pq = 0$ となり、$p^2 = pq$ は成り立ちますが、$p=q$ は成り立ちません。したがって、元の命題は偽です。

* 逆: $p=q \implies p^2=pq$

$p=q$ のとき、$p^2 = p \cdot p = p \cdot q = pq$ となるので、逆の命題は真です。

* 対偶: $p \neq q \implies p^2 \neq pq$

元の命題が偽なので、対偶も偽です。

（または、$p \neq q$ のとき、$p=0$ であれば $p^2 = pq = 0$ となる可能性があります。）

* 裏: $p^2 \neq pq \implies p \neq q$

逆が真なので、裏は偽です。

(または、$p^2 \neq pq$のとき、$p=q$となる場合があるのかを考える.$p(p-q) \neq 0$を仮定する。このとき、$p \neq 0$かつ$p \neq q$である。したがって、$p \neq q$なので、真である。）

3. 最終的な答え

(1) $|x|=2 \implies x^2=4$

* 元の命題: 真

* 逆: 真

* 対偶: 真

* 裏: 真

(2) $p^2=pq \implies p=q$

* 元の命題: 偽

* 逆: 真

* 対偶: 偽

* 裏: 偽