曲線 $y = x^3 + 5x^2$ に、点 $(3, 0)$ から引いた接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 + 5x^2$ に、点 $(3, 0)$ から引いた接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、曲線上の接点の座標を $(t, t^3 + 5t^2)$ とおく。

次に、曲線を微分して、接線の傾きを求める。

$y' = 3x^2 + 10x$

したがって、点 $(t, t^3 + 5t^2)$ における接線の傾きは $3t^2 + 10t$ である。

接線の方程式は

$y - (t^3 + 5t^2) = (3t^2 + 10t)(x - t)$

この接線は点 $(3, 0)$ を通るので、代入すると

$0 - (t^3 + 5t^2) = (3t^2 + 10t)(3 - t)$

$-t^3 - 5t^2 = 9t^2 + 30t - 3t^3 - 10t^2$

$2t^3 - 4t^2 - 30t = 0$

$2t(t^2 - 2t - 15) = 0$

$2t(t - 5)(t + 3) = 0$

よって、$t = 0, 5, -3$ である。

(i) $t = 0$ のとき、接点は $(0, 0)$ であり、傾きは $3(0)^2 + 10(0) = 0$ である。

接線の方程式は $y = 0$ となる。

(ii) $t = 5$ のとき、接点は $(5, 5^3 + 5(5^2)) = (5, 250)$ であり、傾きは $3(5)^2 + 10(5) = 75 + 50 = 125$ である。

接線の方程式は $y - 250 = 125(x - 5)$

$y = 125x - 625 + 250$

$y = 125x - 375$

(iii) $t = -3$ のとき、接点は $(-3, (-3)^3 + 5(-3)^2) = (-3, -27 + 45) = (-3, 18)$ であり、傾きは $3(-3)^2 + 10(-3) = 27 - 30 = -3$ である。

接線の方程式は $y - 18 = -3(x + 3)$

$y = -3x - 9 + 18$

$y = -3x + 9$

3. 最終的な答え

求める接線の方程式は

$y = 0$, $y = 125x - 375$, $y = -3x + 9$