長方形OABC内部にある格子点を黒点、外部にある格子点を白点とする。OAの長さを変化させたときの黒点と白点の個数を求め、表を完成させ、さらにOA=n cmの場合の黒点と白点の個数をnを使った式で表す。

1. 問題の内容

長方形OABC内部にある格子点を黒点、外部にある格子点を白点とする。OAの長さを変化させたときの黒点と白点の個数を求め、表を完成させ、さらにOA=n cmの場合の黒点と白点の個数をnを使った式で表す。

2. 解き方の手順

(1) 表のア、イ、ウを求める。

* ア: OAの長さが3 cmのときの黒点の個数を求める。図4より、黒点の個数は16個であるから、ア = 16。

* イ: OAの長さが3 cmのときの白点の個数を求める。図4より、白点の個数は12個であるから、イ = 12。

* ウ: OAの長さが3 cmのときの、黒点の個数と白点の個数の差を求める。黒点の個数は16個、白点の個数は12個なので、16 - 12 = 4。したがって、ウ = 4。

(2) エ、オを求める。

まず、黒点の個数と白点の個数の和を求める。長方形OABCの横の長さは$n+1$、縦の長さは$2n+1$なので、長方形内部の格子点の総数は$(n+1)(2n+1) = 2n^2 + 3n + 1$。

直角三角形OACの斜辺上にある格子点の個数を考える。$OC = 2OA = 2n$ である。斜辺上にある格子点の個数は、黒点の個数と白点の個数の差に等しい。ここでは、$n$ を使った式を求められないので、実験的に求める。OAの長さが1, 2, 3の時を考えると、斜辺上の格子点はそれぞれ2, 3, 4。よって斜辺上の格子点は$n+1$個であると推測できる。

黒点の個数を$N_b$、白点の個数を$N_w$とすると、

$N_b + N_w = 2n^2 + 3n + 1$

$N_b - N_w = n+1$

2つの式を足し合わせると、

$2N_b = 2n^2 + 4n + 2$

$N_b = n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2$

2つの式を引き算すると、

$2N_w = 2n^2 + 2n$

$N_w = n^2 + n$

よって、エ = $n^2 + 2n + 1$、オ = $n^2 + n$

3. 最終的な答え

(1) ア = 16, イ = 12, ウ = 4

(2) エ = $n^2 + 2n + 1$, オ = $n^2 + n$