3次方程式 $2x^3 - 6x^2 + a = 0$ の異なる実数解の個数を、定数 $a$ の値の範囲によって分類して求める問題です。与えられた解答の形式に従い、それぞれの $a$ の範囲に対する実数解の個数を答えます。

1. 問題の内容

3次方程式 $2x^3 - 6x^2 + a = 0$ の異なる実数解の個数を、定数 $a$ の値の範囲によって分類して求める問題です。与えられた解答の形式に従い、それぞれの $a$ の範囲に対する実数解の個数を答えます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた3次方程式を変形して、関数 $f(x)$ を定義します。

$f(x) = 2x^3 - 6x^2$

このとき、方程式は $f(x) = -a$ となります。

$f(x)$ のグラフを描き、直線 $y = -a$ との交点の個数を調べることで、実数解の個数を求めることができます。

$f(x)$ を微分して極値を求めます。

$f'(x) = 6x^2 - 12x = 6x(x - 2)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 0, 2$ のときです。

$x = 0$ のとき、$f(0) = 0$ (極大値)

$x = 2$ のとき、$f(2) = 2(2)^3 - 6(2)^2 = 16 - 24 = -8$ (極小値)

$a<1$ のとき、$-a>-1$となります。同様に、$a>2$ のとき、$-a<-2$となります。

$1 < a < 2$のとき、$-2 < -a < -1$となります。

したがって、

$a<1, a>2$のとき、$y=-a$と$f(x)$のグラフの交点は3個

$a=0$のとき、$y=0$と$f(x)$のグラフの交点は2個(0で重解)

$a=8$のとき、$y=-8$と$f(x)$のグラフの交点は2個(2で重解)

$0 < a < 8$のとき、$y=-a$と$f(x)$のグラフの交点は3個

画像にある条件は、

$a < 1$ または $a > 2$ のとき、3個

$a = 1$ または $a = 2$ のとき、値が提供されていないので埋めることができない。

$1 < a < 2$ のとき、値が提供されていないので埋めることができない。

ここで、$g(x)=2x^3-6x^2+a$ と置くと、$g'(x)=6x^2-12x=6x(x-2)$ となる。

$g'(x)=0$ となるのは、$x=0,2$。

$x=0$ のとき、$g(0)=a$ で極大、$x=2$ のとき、$g(2)=16-24+a=a-8$ で極小。

3次方程式が異なる3つの実数解を持つためには、$g(0)g(2) < 0$ でなければならない。

つまり、$a(a-8) < 0$ より $0 < a < 8$ 。

$a<0,a>8$ ならば、異なる実数解は1個。

$a=0,a=8$ ならば、異なる実数解は2個。

3. 最終的な答え

画像にある条件は、

$a < 1$ または $a > 2$ のとき、３個

$a = 1$, $2$ のとき、個数が不明

$1 < a < 2$ のとき、個数が不明