図に示された角の情報をもとに、$x$ の角度を求める問題です。画像には複数の問題が含まれていますが、ここでは(11)の問題を解きます。

1. 問題の内容

図に示された角の情報をもとに、$x$ の角度を求める問題です。画像には複数の問題が含まれていますが、ここでは(11)の問題を解きます。

2. 解き方の手順

問題(11)を解きます。

* 円の中心をOとし、円周上の3点をA, B, Cとします。

$\angle BAC = 15^\circ$

$\angle BOC = 84^\circ$

求めたい角度は $\angle BCA = x$ です。

* 円周角の定理より、中心角 $\angle BOC$ は円周角 $\angle BAC$ の2倍なので、

$\angle BOC = 2 \times \angle BAC$ が成り立つはずですが、問題の図では成り立っていません。

円周角と中心角の関係を考慮し、円周角を適切に設定する必要があります。

* $\angle BAC$ は、$\angle BOC$ の同じ弧BCに対する円周角ではないので、注意が必要です。

* $\angle BOC = 84^\circ$ より、弧BCに対する円周角は $84^\circ / 2 = 42^\circ$ です。

この円周角を $\angle BDC$ とします。(Dは弧BC上のAとは異なる点)

* 四角形ABDCは円に内接するので、対角の和は180°です。

$\angle BAC + \angle BDC = 180^\circ$ であるはずですが、

$15^\circ + 42^\circ = 57^\circ \neq 180^\circ$ であるので、この円周角は $\angle BCA$ とは別の点である必要があります。

* 円周角の定理より、弧BAに対する円周角は一定です。

$\angle BCA = \angle BEA$ (Eは弧BA上のC, Dとは異なる点)

* $\angle BCA$ を $x$ とおくと、$\angle BAC = 15^\circ$, $\angle BOC = 84^\circ$ という条件から$x$ を求める必要があります。

* $\angle BOA = 2 \times \angle BCA = 2x$

* $\angle COA = 360^\circ - \angle BOC - \angle BOA = 360^\circ - 84^\circ - 2x = 276^\circ - 2x$

* $\angle COA$ に対する円周角は $\angle CBA$ であり、$\angle CBA = \frac{1}{2} \angle COA$

* したがって $\angle CBA = \frac{1}{2}(276^\circ - 2x) = 138^\circ - x$

* 三角形ABCの内角の和は $180^\circ$ であるので、

$\angle BAC + \angle CBA + \angle BCA = 180^\circ$

$15^\circ + (138^\circ - x) + x = 180^\circ$

$153^\circ = 180^\circ$

この関係式からは $x$ を求めることができません。

* 別の解き方を試します。

$\angle BOC = 84^\circ$, $\angle BAC = 15^\circ$, $\angle BCA = x$

$\angle OBA = \angle OAB = y$, $\angle OBC = \angle OCB = z$ とします。

$\angle ABC + \angle BCA + \angle CAB = 180^\circ$

$(y+z) + x + 15^\circ = 180^\circ$

$x+y+z = 165^\circ$

$\angle BOC = 84^\circ$ より、

$2y + 2z = 360^\circ - 84^\circ = 276^\circ$

$y + z = 138^\circ$

$x = 165^\circ - (y+z) = 165^\circ - 138^\circ = 27^\circ$

3. 最終的な答え

$x = 27^\circ$