3次方程式 $2x^3 - 6x^2 + a = 0$ の異なる実数解の個数を、定数 $a$ の値によって分類して求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $2x^3 - 6x^2 + a = 0$ の異なる実数解の個数を、定数 $a$ の値によって分類して求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を $f(x) = 2x^3 - 6x^2 + a$ とおき、この関数のグラフを描いて、x軸との交点の個数を調べます。

そのため、$f(x)$ の増減を調べます。微分すると、

$f'(x) = 6x^2 - 12x = 6x(x-2)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x=0$ または $x=2$ のときです。

増減表を書くと以下のようになります。

| x | ... | 0 | ... | 2 | ... |

| :----- | :----- | :----- | :----- | :----- | :----- |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 増加 | 極大値 | 減少 | 極小値 | 増加 |

極大値は $f(0) = a$、極小値は $f(2) = 2(2^3) - 6(2^2) + a = 16 - 24 + a = a - 8$ です。

$f(x) = 0$ の実数解の個数は、$y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸との交点の個数に等しいので、極大値と極小値の符号に注目します。

(i) 極大値も極小値も同じ符号のとき、実数解は1個です。つまり、$a>0$ かつ $a-8>0$ （すなわち $a>8$）のときと、$a<0$ かつ $a-8<0$ （すなわち $a<0$）のときです。したがって、$a<0$, $a>8$ のとき実数解は1個です。

(ii) 極大値と極小値の符号が異なるとき、実数解は3個です。つまり、$a>0$ かつ $a-8<0$ （すなわち $0<a<8$）のときです。

(iii) 極大値または極小値が0のとき、実数解は2個です。つまり、$a=0$ または $a-8=0$ （すなわち $a=8$）のときです。

3. 最終的な答え

$a<0$, $a>8$ のとき 1個

$a=0$, $a=8$ のとき 2個

$0<a<8$ のとき 3個