28人の生徒がいるクラスで10問のクイズを行ったところ、正解数の平均値が5、中央値が5.5、最頻値が3であった。このとき、選択肢の中から必ず正しいといえるものを選ぶ。

1. 問題の内容

28人の生徒がいるクラスで10問のクイズを行ったところ、正解数の平均値が5、中央値が5.5、最頻値が3であった。このとき、選択肢の中から必ず正しいといえるものを選ぶ。

2. 解き方の手順

* **平均値:** クラス全体の正解数の合計は、平均値 × 生徒数で計算できます。つまり、$5 \times 28 = 140$。

* **中央値:** 中央値が5.5であることから、生徒を正解数の少ない順に並べたとき、14番目の生徒の正解数と15番目の生徒の正解数の平均が5.5となります。したがって、14番目の生徒の正解数は5以下で、15番目の生徒の正解数は6以上である必要があります。

* **最頻値:** 最頻値が3であることから、正解数が3である生徒が最も多いことがわかります。

次に選択肢を検討します。

1. **選択肢①:** 正解数が2問以下の生徒はいない。

最頻値が3であることから、正解数が3の生徒が最も多いので、正解数が2問以下の生徒がいる可能性はあります。したがって、この選択肢は必ずしも正しくありません。

2. **選択肢②:** 正解数が6問以上の生徒は、ちょうど14人である。

中央値が5.5であることから、15番目の生徒の正解数は6以上です。しかし、6問以上の生徒がちょうど14人であるとは限りません。例えば、6問以上の生徒が15人以上いる可能性もあります。したがって、この選択肢は必ずしも正しくありません。

3. **選択肢③:** 正解数が5問の生徒、6問の生徒が、それぞれ少なくとも1人ずついる。

中央値が5.5であることから、14番目の生徒の正解数は5以下で、15番目の生徒の正解数は6以上である必要があります。したがって、5問の生徒と6問の生徒がそれぞれ少なくとも1人ずついる可能性はあります。しかし、中央値が5.5であるためには、14番目の生徒の正解数が5で、15番目の生徒の正解数が6である必要があります。したがって、この選択肢は必ずしも正しくありません。

4. **選択肢④:** 正解数が4問以下の生徒が14人以上いる。

中央値が5.5であることから、生徒を正解数の少ない順に並べたとき、14番目の生徒の正解数は5以下です。したがって、正解数が4問以下の生徒が14人以上いる可能性があります。実際、もし14番目の生徒の正解数が4以下であれば、この選択肢は正しいです。しかし、もし14番目の生徒の正解数が5であった場合、正解数が4問以下の生徒が14人未満である可能性があります。例えば、最初の13人が全員5問正解で、14番目の生徒が5問正解、15番目の生徒が6問正解、残りの生徒が全員10問正解というケースはあり得ます。この場合、4問以下の生徒は0人なので、この選択肢は誤りです。

ここで、中央値が5.5であることから、14番目の生徒の正解数は5以下、15番目の生徒の正解数は6以上である必要があります。もし正解数が4問以下の生徒が13人以下だと仮定すると、14番目の生徒の正解数は少なくとも5問となります。しかし、そうすると中央値が5.5となるためには、14番目の生徒が5問で、15番目の生徒が6問である必要があります。

中央値が5.5であることから、正解数が5以下の生徒が少なくとも14人います。

したがって、正解数が4問以下の生徒が14人以上いるとは限りません。

しかし、各生徒の点数を低い順に並べた時に、14番目の生徒の得点を$a$, 15番目の生徒の得点を$b$とすると、$(a+b)/2=5.5$ より、$a+b=11$が成り立つ。ここで$a \leq 5$、$b \geq 6$である。

もし4点以下の生徒が13人以下だと仮定すると、$a \geq 5$である。

したがって、$a=5$、$b=6$である。

しかし、これも反例を見つけるのが難しい。

14番目の生徒の正解数が5以下なので、正解数が5問以下の生徒が少なくとも14人いることは言えます。

正解数が4問以下の生徒が14人以上いるとは限らない。

3. 最終的な答え

答えは存在しません。問題文に与えられた情報から、選択肢①～④のどれが常に正しいかを判断することはできません。