直線 $y = \frac{1}{2}x + 1$ について、 (1) この直線を $y$ 軸に関して対称移動した直線の方程式を求める。 (2) この直線を $x$ 軸に関して対称移動した直線の方程式を求める。 (3) この直線を原点に関して対称移動した直線の方程式を求める。 (4) 元の直線と、(1)～(3) で求めた 3 本の直線によって囲まれた図形の面積を求める。

1. 問題の内容

直線 $y = \frac{1}{2}x + 1$ について、

(1) この直線を $y$ 軸に関して対称移動した直線の方程式を求める。

(2) この直線を $x$ 軸に関して対称移動した直線の方程式を求める。

(3) この直線を原点に関して対称移動した直線の方程式を求める。

(4) 元の直線と、(1)～(3) で求めた 3 本の直線によって囲まれた図形の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y$ 軸に関して対称移動： $x$ を $-x$ に置き換える。

$y = \frac{1}{2}(-x) + 1$

$y = -\frac{1}{2}x + 1$

(2) $x$ 軸に関して対称移動： $y$ を $-y$ に置き換える。

$-y = \frac{1}{2}x + 1$

$y = -\frac{1}{2}x - 1$

(3) 原点に関して対称移動： $x$ を $-x$ に、 $y$ を $-y$ に置き換える。

$-y = \frac{1}{2}(-x) + 1$

$-y = -\frac{1}{2}x + 1$

$y = \frac{1}{2}x - 1$

(4) 4本の直線は

$y = \frac{1}{2}x + 1$ ... ①

$y = -\frac{1}{2}x + 1$ ... (1)

$y = -\frac{1}{2}x - 1$ ... (2)

$y = \frac{1}{2}x - 1$ ... (3)

これらの直線で囲まれた図形はひし形になる。

ひし形の頂点を求める。

①と(1)の交点: $\frac{1}{2}x + 1 = -\frac{1}{2}x + 1$ より、$x = 0$、$y = 1$。 交点は $(0, 1)$

①と(3)の交点: $\frac{1}{2}x + 1 = \frac{1}{2}x - 1$ より、解なし。平行

①と(2)の交点: $\frac{1}{2}x + 1 = -\frac{1}{2}x - 1$ より、$x = -2$、$y = 0$。交点は $(-2, 0)$

(1)と(2)の交点: $-\frac{1}{2}x + 1 = -\frac{1}{2}x - 1$ より、解なし。平行

(1)と(3)の交点: $-\frac{1}{2}x + 1 = \frac{1}{2}x - 1$ より、$x = 2$、$y = 0$。交点は $(2, 0)$

(2)と(3)の交点: $-\frac{1}{2}x - 1 = \frac{1}{2}x - 1$ より、$x = 0$、$y = -1$。交点は $(0, -1)$

ひし形の頂点は $(0, 1)$, $(-2, 0)$, $(0, -1)$, $(2, 0)$.

対角線の長さは、$(0, 1)$ と $(0, -1)$ の距離が $2$, $(-2, 0)$ と $(2, 0)$ の距離が $4$.

ひし形の面積 = $\frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4$

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{1}{2}x + 1$

(2) $y = -\frac{1}{2}x - 1$

(3) $y = \frac{1}{2}x - 1$

(4) 4