(1) 正五角形の3個の頂点を結んでできる三角形の個数を求め、さらにそのうち正五角形と2辺を共有する三角形の個数を求める。 (2) 正五角形の2個の頂点を結んでできる線分の本数を求める。

1. 問題の内容

(1) 正五角形の3個の頂点を結んでできる三角形の個数を求め、さらにそのうち正五角形と2辺を共有する三角形の個数を求める。

(2) 正五角形の2個の頂点を結んでできる線分の本数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

* 三角形の総数：正五角形の5個の頂点から3個を選ぶ組み合わせを求める。これは組み合わせの公式 $_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いる。

$_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

よって、三角形の総数は10個。

* 正五角形と2辺を共有する三角形の数：正五角形の隣り合う2辺を選ぶと、それらを共有する三角形が一意に決まる。正五角形には5つの辺があるので、隣り合う2辺の選び方は5通り。したがって、正五角形と2辺を共有する三角形は5個。

(2)

* 線分の総数：正五角形の5個の頂点から2個を選ぶ組み合わせを求める。これも組み合わせの公式 $_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いる。

$_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

よって、線分の総数は10本。

3. 最終的な答え

(1) 三角形の総数は10個、正五角形と2辺を共有する三角形は5個。

(2) 線分の本数は10本。