三角形ABCについて、辺ACの長さ、面積、外接円の半径を求める問題です。辺ABの長さは3cm、辺BCの長さは8cm、角Bは60°です。

1. 問題の内容

三角形ABCについて、辺ACの長さ、面積、外接円の半径を求める問題です。辺ABの長さは3cm、辺BCの長さは8cm、角Bは60°です。

2. 解き方の手順

(1) 辺ACの長さを求める。

余弦定理を用いる。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{B}$

$AC^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos{60^\circ}$

$\cos{60^\circ} = \frac{1}{2}$なので、

$AC^2 = 9 + 64 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 9 + 64 - 24 = 49$

$AC = \sqrt{49} = 7$

(2) 三角形ABCの面積を求める。

三角形の面積の公式を用いる。

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin{B}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \sin{60^\circ}$

$\sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$なので、

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$

(3) 三角形ABCの外接円の半径を求める。

正弦定理を用いる。

$\frac{AC}{\sin{B}} = 2R$ (Rは外接円の半径)

$AC = 7$、$\sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$なので、

$\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$2R = \frac{14}{\sqrt{3}}$

$R = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 辺ACの長さ：7cm

(2) 三角形ABCの面積：$6\sqrt{3}$ cm$^2$

(3) 三角形ABCの外接円の半径：$\frac{7\sqrt{3}}{3}$ cm