28人の生徒が10問のクイズを行ったところ、正解数の平均値が5、中央値が5.5、最頻値が3であった。このとき、選択肢の中から必ず正しいといえるものを選ぶ問題です。

1. 問題の内容

28人の生徒が10問のクイズを行ったところ、正解数の平均値が5、中央値が5.5、最頻値が3であった。このとき、選択肢の中から必ず正しいといえるものを選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた情報を整理します。

* 生徒数: 28人

* クイズの問題数: 10問

* 平均値: 5

* 中央値: 5.5

* 最頻値: 3

選択肢を一つずつ検討します。

(1) 正解数が2問以下の生徒はいない。

最頻値が3なので、3問正解の生徒が最も多いことはわかりますが、2問以下の生徒がいないとは限りません。例えば、0問正解の生徒がいても、他の生徒の正解数が多く、平均値、中央値を満たすことは可能です。よって、この選択肢は必ず正しいとは言えません。

(2) 正解数が6問以上の生徒は、ちょうど14人である。

平均点が5点なので、クラス全体の正解数の合計は $28 \times 5 = 140$ 問です。

もし、正解数が6問以上の生徒が14人いた場合、残りの14人の正解数の合計は $140 - (14 \times 6) = 56$ 問となります。このとき、残りの14人の平均正解数は $56 / 14 = 4$ 問となります。中央値が5.5であることから、正解数の少ない生徒と多い生徒が混ざっている必要があります。正解数6問以上の生徒がちょうど14人であると断定できる根拠はありません。よって、この選択肢は必ず正しいとは言えません。

(3) 正解数が5問の生徒, 6問の生徒が、それぞれ少なくとも1人ずついる。

中央値が5.5であるため、データを小さい順に並べたとき、14番目と15番目の値の平均が5.5になります。つまり、14番目の生徒の正解数が5で、15番目の生徒の正解数が6であるか、または14番目、15番目の生徒の正解数がともに5.5である必要があります。後者の場合はあり得ないので、少なくとも1人は5点で、少なくとも1人は6点である必要があり、この選択肢は正しいと考えられます。

(4) 正解数が4問以下の生徒が14人以上いる。

中央値が5.5であることから、生徒の正解数を小さい順に並べたとき、14番目の生徒の正解数は5以下であり、15番目の生徒の正解数は6以上です。

仮に正解数が4問以下の生徒が13人だった場合、14番目の生徒の正解数は5以上となり、中央値が5.5になることはありません。したがって、正解数が4問以下の生徒は14人以上いる必要があります。

中央値が5.5より、正解数5以下の生徒が少なくとも14人以上いることが分かります。このことから、選択肢4は正しいと言えます。

選択肢3についてより厳密に考えます。中央値が5.5であるためには、14番目の生徒の点数と15番目の生徒の点数の平均が5.5である必要があります。

もし、5点の生徒がいない場合、14番目、15番目の生徒の点数は6以上となり、中央値が5.5になることはありません。同様に、6点の生徒がいない場合、14番目、15番目の生徒の点数は5以下となり、中央値が5.5になることはありません。よって、5点と6点の生徒が少なくとも1人ずつ存在する必要があると言えます。

平均が5点なので、全ての生徒の点数の合計は、$28 \times 5 = 140$点です。最頻値が3点なので、3点の生徒の数が最も多いです。

中央値が5.5点なので、14番目の生徒の点数と15番目の生徒の点数の平均が5.5です。つまり、14番目の生徒の点数が5点で15番目の生徒の点数が6点であるか、または両方とも5.5点ですが、ありえません。

選択肢３と選択肢４はどちらも正しいように見えますが、より厳密に考えた場合、必ず正しいと言えるのは選択肢4となります。

3. 最終的な答え

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