28人のクラスで10問のクイズを行ったところ、正解数の平均値が5、中央値が5.5、最頻値が3であった。このとき、以下の選択肢の中から必ず正しいと言えるものを選ぶ。

1. 問題の内容

28人のクラスで10問のクイズを行ったところ、正解数の平均値が5、中央値が5.5、最頻値が3であった。このとき、以下の選択肢の中から必ず正しいと言えるものを選ぶ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた情報を整理する。

* 生徒数: 28人

* 問題数: 10問

* 平均値: 5

* 中央値: 5.5

* 最頻値: 3

平均値が5なので、正解数の合計は $28 \times 5 = 140$ である。

中央値が5.5なので、正解数の少ない順に並べたとき、14番目と15番目の生徒の正解数の平均が5.5となる。つまり、14番目の生徒の正解数が5、15番目の生徒の正解数が6、または、14番目と15番目の生徒の正解数がともに5.5ということはありえないので、14番目の生徒の正解数が5、15番目の生徒の正解数が6、または、14番目の生徒が5以下、15番目の生徒が6以上であることが確定する。

最頻値が3なので、正解数が3の生徒が最も多い。

選択肢を一つずつ検討する。

* 選択肢1：正解数が2問以下の生徒はいない。

最頻値が3であることから、正解数が2問以下の生徒がいないとは限らない。例えば、0点の人がいても、３点の人がそれよりも多ければ条件を満たす。

よって、この選択肢は必ずしも正しくない。

* 選択肢2：正解数が6問以上の生徒は、ちょうど14人である。

もし正解数が6問以上の生徒が14人いたとすると、正解数が5問以下の生徒も14人いることになる。中央値が5.5であることから、これはありえる。しかし、正解数が6問以上の生徒が14人でない場合もある。例えば、正解数が6問以上の生徒が10人だった場合でも、平均、中央値、最頻値の条件を満たす場合がありえる。

よって、この選択肢は必ずしも正しくない。

* 選択肢3：正解数が5問の生徒、6問の生徒が、それぞれ少なくとも1人ずついる。

中央値が5.5であることから、14番目の生徒が5問以下、15番目の生徒が6問以上である。したがって、少なくとも正解数が5問の生徒と6問の生徒がそれぞれ1人ずついる。

よって、この選択肢は正しい。

* 選択肢4：正解数が4問以下の生徒が14人以上いる。

中央値が5.5であることから、少なくとも14番目の生徒は5問以下である。仮に14番目の生徒の正解数が5であるとすると、15番目の生徒の正解数は6以上である。したがって、正解数が4問以下の生徒が14人以上いるとは限らない。

よって、この選択肢は必ずしも正しくない。

3. 最終的な答え

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