28人のクラスで10問のクイズを行ったところ、正解数の平均値は5、中央値は5.5、最頻値は3であった。このとき、以下の選択肢の中から必ず正しいと言えるものを選ぶ。 選択肢： (1) 正解数が2問以下の生徒はいない。 (2) 正解数が6問以上の生徒は、ちょうど14人である。 (3) 正解数が5問の生徒、6問の生徒が、それぞれ少なくとも1人ずついる。 (4) 正解数が4問以下の生徒が14人以上いる。

1. 問題の内容

28人のクラスで10問のクイズを行ったところ、正解数の平均値は5、中央値は5.5、最頻値は3であった。このとき、以下の選択肢の中から必ず正しいと言えるものを選ぶ。

選択肢：

(1) 正解数が2問以下の生徒はいない。

(2) 正解数が6問以上の生徒は、ちょうど14人である。

(3) 正解数が5問の生徒、6問の生徒が、それぞれ少なくとも1人ずついる。

(4) 正解数が4問以下の生徒が14人以上いる。

2. 解き方の手順

まず、中央値が5.5であることから、生徒の正解数を小さい順に並べたとき、14番目の生徒と15番目の生徒の正解数の平均が5.5である。

つまり、14番目の生徒の正解数と15番目の生徒の正解数は、5と6か、もしくは両方とも5.5であり、正解数は整数なので、14番目の生徒の正解数は5で、15番目の生徒の正解数は6である。

また、最頻値が3なので、3問正解した生徒が最も多い。

平均点が5点であることから、28人の正解数の合計は、

$28 \times 5 = 140$ 点となる。

(1)について：

もし正解数が2問以下の生徒がいた場合でも、他の生徒の点数が高ければ平均点を5に保つことができるので、必ず正しいとは言えない。

(2)について：

中央値が5.5であることから、6問以上正解した生徒がちょうど14人とは限らない。例えば、6問正解した生徒が1人、7問正解した生徒が1人、8問正解した生徒が1人、9問正解した生徒が1人、残りの10人が10問正解している場合、6問以上正解した生徒は14人以下になるため、必ず正しいとは言えない。

(3)について：

中央値が5.5であることから、正解数が5問の生徒と6問の生徒が少なくとも1人ずついることは確定している。

(4)について：

15番目の生徒の正解数が6であることから、4問以下の生徒が少なくとも14人いるとは限らない。4問以下の生徒が14人未満でも、他の生徒の点数が高ければ中央値は5.5になる。例えば、正解数が0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10の場合は、平均値が5になる。

また、正解数の合計は140なので、4問以下の生徒が14人以上いる場合、5問以上の生徒が14人以下になり、平均点を5に保つことが難しくなる。

もし4問以下の生徒が14人いて、全員が4問だった場合、その合計は56点になる。残り14人の正解数の合計は $140 - 56 = 84$ 点必要なので、平均は6点になる。この場合、中央値5.5を保つことが難しくなる。

したがって、必ず正しいと言えるのは、正解数が5問の生徒、6問の生徒が、それぞれ少なくとも1人ずついることである。

3. 最終的な答え

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