与えられた不等式を解きます。 (1) $ax + b > cx$ (2) $(a+b)x \le a^2 - b^2$ ただし、$a, b, c$ は定数です。

1. 問題の内容

与えられた不等式を解きます。

(1) $ax + b > cx$

(2) $(a+b)x \le a^2 - b^2$

ただし、$a, b, c$ は定数です。

2. 解き方の手順

(1) $ax + b > cx$

まず、$x$を含む項を左辺に、定数項を右辺に移項します。

$ax - cx > -b$

次に、左辺を$x$でくくります。

$(a - c)x > -b$

ここで、$a - c$ の符号によって場合分けします。

(i) $a - c > 0$ のとき：

$x > \frac{-b}{a - c}$

(ii) $a - c < 0$ のとき：

$x < \frac{-b}{a - c}$

(iii) $a - c = 0$ のとき：

$0 > -b$

つまり、$b > 0$ ならば、すべての$x$で不等式が成り立ちます。

$b \le 0$ ならば、解は存在しません。

(2) $(a+b)x \le a^2 - b^2$

まず、右辺を因数分解します。

$(a+b)x \le (a+b)(a-b)$

ここで、$a+b$の符号によって場合分けします。

(i) $a+b > 0$ のとき：

$x \le a-b$

(ii) $a+b < 0$ のとき：

$x \ge a-b$

(iii) $a+b = 0$ のとき：

$0 \le 0$

この場合、すべての$x$で不等式が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $ax + b > cx$

(i) $a - c > 0$ のとき：$x > \frac{-b}{a - c}$

(ii) $a - c < 0$ のとき：$x < \frac{-b}{a - c}$

(iii) $a - c = 0$ のとき：$b > 0$ ならばすべての実数、$b \le 0$ ならば解なし

(2) $(a+b)x \le a^2 - b^2$

(i) $a+b > 0$ のとき：$x \le a-b$

(ii) $a+b < 0$ のとき：$x \ge a-b$

(iii) $a+b = 0$ のとき：すべての実数