与えられた複数の不等式を同時に満たすxの範囲を求める問題です。具体的には、以下の4つの問題があります。 (1) $3x - 2 > 7$ と $2x + 13 \geq 4x - 5$ (2) $x^2 + x - 6 < 0$ と $x^2 + x - 2 > 0$ (3) $x^2 - x - 12 < 0$ と $x^2 - 2x \geq 0$ (4) $x^2 - 3x - 1 < 0$

1. 問題の内容

与えられた複数の不等式を同時に満たすxの範囲を求める問題です。具体的には、以下の4つの問題があります。

(1) $3x - 2 > 7$ と $2x + 13 \geq 4x - 5$

(2) $x^2 + x - 6 < 0$ と $x^2 + x - 2 > 0$

(3) $x^2 - x - 12 < 0$ と $x^2 - 2x \geq 0$

(4) $x^2 - 3x - 1 < 0$

2. 解き方の手順

各問題ごとに、それぞれの不等式を解き、共通の範囲を求めます。

(1)

* $3x - 2 > 7$ を解く:

$3x > 9$

$x > 3$

* $2x + 13 \geq 4x - 5$ を解く:

$-2x \geq -18$

$x \leq 9$

よって、$3 < x \leq 9$

(2)

* $x^2 + x - 6 < 0$ を解く:

$(x + 3)(x - 2) < 0$

$-3 < x < 2$

* $x^2 + x - 2 > 0$ を解く:

$(x + 2)(x - 1) > 0$

$x < -2$ または $x > 1$

よって、$(-3 < x < -2)$ または $(1 < x < 2)$

(3)

* $x^2 - x - 12 < 0$ を解く:

$(x - 4)(x + 3) < 0$

$-3 < x < 4$

* $x^2 - 2x \geq 0$ を解く:

$x(x - 2) \geq 0$

$x \leq 0$ または $x \geq 2$

よって、$(-3 < x \leq 0)$ または $(2 \leq x < 4)$

(4)

* $x^2 - 3x - 1 < 0$ を解く:

解の公式より、

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$

したがって、$\frac{3 - \sqrt{13}}{2} < x < \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $3 < x \leq 9$

(2) $-3 < x < -2$ または $1 < x < 2$

(3) $-3 < x \leq 0$ または $2 \leq x < 4$

(4) $\frac{3 - \sqrt{13}}{2} < x < \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$