関数 $f(t)$ が与えられています。$f(t) = t^2 + \frac{t^2}{(t-1)^2}$ を簡略化します。

1. 問題の内容

関数 $f(t)$ が与えられています。$f(t) = t^2 + \frac{t^2}{(t-1)^2}$ を簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、$f(t)$ の式を整理します。

$f(t) = t^2 + \frac{t^2}{(t-1)^2}$

$f(t) = t^2 + \frac{t^2}{t^2 - 2t + 1}$

ここで、$\frac{t}{t-1} = \frac{t-1+1}{t-1} = 1 + \frac{1}{t-1}$を利用します。

よって、$\frac{t^2}{(t-1)^2} = \left(\frac{t}{t-1}\right)^2 = \left(1 + \frac{1}{t-1}\right)^2 = 1 + \frac{2}{t-1} + \frac{1}{(t-1)^2}$

$f(t) = t^2 + 1 + \frac{2}{t-1} + \frac{1}{(t-1)^2}$

$f(t) = t^2 + 1 + \frac{2(t-1) + 1}{(t-1)^2} = t^2 + 1 + \frac{2t - 2 + 1}{(t-1)^2} = t^2 + 1 + \frac{2t-1}{(t-1)^2}$

または、$f(t) = t^2 + \frac{t^2}{(t-1)^2} = \frac{t^2(t-1)^2 + t^2}{(t-1)^2}$

$= \frac{t^2(t^2-2t+1) + t^2}{(t-1)^2} = \frac{t^4-2t^3+t^2+t^2}{(t-1)^2} = \frac{t^4-2t^3+2t^2}{(t-1)^2}$

$= \frac{t^4-2t^3+2t^2}{t^2-2t+1}$

多項式除算を実行すると、

$t^4-2t^3+2t^2 = (t^2-2t+1)(t^2) + t^2$

したがって、$\frac{t^4-2t^3+2t^2}{t^2-2t+1} = t^2 + \frac{t^2}{t^2-2t+1}$

$= t^2 + \left(\frac{t}{t-1}\right)^2 = t^2 + \left(\frac{t-1+1}{t-1}\right)^2$

$= t^2 + \left(1 + \frac{1}{t-1}\right)^2 = t^2 + 1 + \frac{2}{t-1} + \frac{1}{(t-1)^2}$

$= t^2 + 1 + \frac{2(t-1) + 1}{(t-1)^2} = t^2 + 1 + \frac{2t-1}{(t-1)^2}$

3. 最終的な答え

$f(t) = t^2 + 1 + \frac{2}{t-1} + \frac{1}{(t-1)^2}$ または $f(t) = t^2 + 1 + \frac{2t-1}{(t-1)^2}$

$f(t) = \frac{t^4-2t^3+2t^2}{t^2-2t+1}$

最も簡単な形式は $f(t) = t^2 + \left(1 + \frac{1}{t-1}\right)^2$ です。