2次方程式 $3x^2 + 6x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

2次方程式 $3x^2 + 6x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

解と係数の関係を利用します。2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とすると、以下の関係が成り立ちます。

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

与えられた2次方程式 $3x^2 + 6x - 1 = 0$ において、$a = 3$、$b = 6$、$c = -1$ であるから、

$\alpha + \beta = -\frac{6}{3} = -2$

$\alpha \beta = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$

求めたい $\alpha^2 + \beta^2$ は、$(\alpha + \beta)^2$ と $\alpha \beta$ を用いて以下のように表すことができます。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$

$\alpha + \beta = -2$ および $\alpha \beta = -\frac{1}{3}$ を代入すると、

$\alpha^2 + \beta^2 = (-2)^2 - 2 \left(-\frac{1}{3}\right) = 4 + \frac{2}{3} = \frac{12}{3} + \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{14}{3}$