整式 $P(x)$ があり、$P(x)$ を $(x-2)(x+3)$ で割ると余りが $5x-2$ であり、$P(x)$ を $(x-2)(x-3)$ で割ると余りが $-x+10$ である。このとき、$P(x)$ を $(x+3)(x-3)$ で割ったときの余りを求める。

1. 問題の内容

整式 $P(x)$ があり、$P(x)$ を $(x-2)(x+3)$ で割ると余りが $5x-2$ であり、$P(x)$ を $(x-2)(x-3)$ で割ると余りが $-x+10$ である。このとき、$P(x)$ を $(x+3)(x-3)$ で割ったときの余りを求める。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $(x-2)(x+3)$ で割ったときの商を $Q_1(x)$ とすると、

$P(x) = (x-2)(x+3)Q_1(x) + 5x - 2$

$P(x)$ を $(x-2)(x-3)$ で割ったときの商を $Q_2(x)$ とすると、

$P(x) = (x-2)(x-3)Q_2(x) - x + 10$

$P(x)$ を $(x+3)(x-3)$ で割ったときの商を $Q_3(x)$、余りを $ax+b$ とすると、

$P(x) = (x+3)(x-3)Q_3(x) + ax + b$

$P(2)$ を計算する。

最初の式より、$P(2) = (2-2)(2+3)Q_1(2) + 5(2) - 2 = 10 - 2 = 8$

2番目の式より、$P(2) = (2-2)(2-3)Q_2(2) - 2 + 10 = 8$

3番目の式より、$P(x) = (x+3)(x-3)Q_3(x) + ax + b$ なので、$P(3)$と$P(-3)$ を計算する。

$P(3)$ を計算する。

$P(3) = (3-2)(3-3)Q_2(3) - 3 + 10 = 7$

また、$P(3) = (3+3)(3-3)Q_3(3) + 3a+b = 3a + b$

よって、$3a+b = 7$

$P(-3)$ を計算する。

$P(-3) = (-3-2)(-3+3)Q_1(-3) + 5(-3) - 2 = -15 -2 = -17$

また、$P(-3) = (-3+3)(-3-3)Q_3(-3) + a(-3) + b = -3a+b$

よって、$-3a+b = -17$

$3a+b = 7$ と $-3a+b = -17$ の連立方程式を解く。

$3a+b = 7$

$-3a+b = -17$

足し合わせると $2b = -10$ より $b = -5$

$3a - 5 = 7$ より $3a = 12$ よって $a = 4$

したがって、余りは $4x - 5$ である。

3. 最終的な答え

$4x-5$