与えられた式 $\sqrt{-2\sqrt{-12}}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt{-2\sqrt{-12}}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{-12}$ を計算します。$-12 = 12 \times (-1)$ なので、$\sqrt{-12} = \sqrt{12} \times \sqrt{-1} = \sqrt{4 \times 3} \times i = 2\sqrt{3}i$ となります。

次に、$\sqrt{-2\sqrt{-12}} = \sqrt{-2(2\sqrt{3}i)} = \sqrt{-4\sqrt{3}i}$ を計算します。

$z = -4\sqrt{3}i$ とすると、$|z| = \sqrt{(-4\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ です。

$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とすると、$\cos\theta = 0$ かつ $\sin\theta = -1$ なので、$\theta = \frac{3\pi}{2}$ です。

したがって、$z = 4\sqrt{3}(\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2})$ となります。

$\sqrt{z} = \sqrt{4\sqrt{3}}(\cos(\frac{3\pi}{4} + k\pi) + i\sin(\frac{3\pi}{4} + k\pi))$ (ただし、$k = 0, 1$)

$k = 0$ のとき、$\sqrt{z} = \sqrt{4\sqrt{3}}(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}) = 2\sqrt[4]{3}(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\sqrt{2}\sqrt[4]{3} + i\sqrt{2}\sqrt[4]{3}$

$k = 1$ のとき、$\sqrt{z} = \sqrt{4\sqrt{3}}(\cos\frac{7\pi}{4} + i\sin\frac{7\pi}{4}) = 2\sqrt[4]{3}(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2}\sqrt[4]{3} - i\sqrt{2}\sqrt[4]{3}$

問題文に指示がないので、どちらの解を答えても良いと思われます。ここでは、$k=0$の解を選択します。

3. 最終的な答え

$-\sqrt{2}\sqrt[4]{3} + \sqrt{2}\sqrt[4]{3}i$

あるいは、

$\sqrt{2}\sqrt[4]{3} - \sqrt{2}\sqrt[4]{3}i$

と答えることができます。

簡略化すると、

$-\sqrt[4]{12} + i\sqrt[4]{12}$

または

$\sqrt[4]{12} - i\sqrt[4]{12}$

となります。

$\sqrt[4]{12}(1-i)$ あるいは $\sqrt[4]{12}(-1+i)$.

表記を統一すると$\sqrt[4]{12}(-1+i)$を回答とします。

最終的な答え：

$\sqrt[4]{12}(-1 + i)$